Меню

Виды эпюр нормальных напряжений

Нормальные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений

В сечении балки, взятом на участке чистого изгиба, возникает только один изгибающий момент

.

Следовательно, в сечении действуют нормальные напряжения σ (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Схема внутренних сил при чистом изгибе

Продольная сила N и изгибающий момент Му будут равны нулю, т. е.

;

.

Из формулы для определения изгибающего момента Мх нельзя определить величину нормальных напряжений σ, так как неизвестно, как они распределены по сечению.

Задача определения напряжений σ в сечении балки является статически неопределимой. Пусть отдельное волокно при изгибе испытывает простое растяжение или сжатие. Тогда для него можно записать закон Гука как при растяжении:

Чтобы найти относительную деформацию ε на участке чистого изгиба, выделим элемент балки длиной dz и рассмотрим его деформацию.

Сечения mn и m1n1 остаются плоскими и поворачиваются на угол /2. Волокна нейтрального слоя искривляются, но их длина не изменяется. Радиус кривизны нейтрального слоя обозначим ρ. Тогда имеем:

dz = OO1 = ρdφ.

Волокно АВ, расположенное на расстоянии у от нейтрального слоя, удлиняется, радиус его кривизны составляет ρ + у (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Схема деформации элемента балки длиной dz

Относительное удлинение волокна:

.

Тогда .

Подставим данное выражение в формулу для Мх:

.

представляет момент инерции сечения относительно оси x, можно записать

.

.

Величина EJx называется жесткостью поперечного сечения при изгибе.

Из вышеприведенной формулы видно, что если балка изготовлена из однородного материала(Е = const) и имеет постоянное сечение (Jx = const), то при чистом изгибе (М = const) ее ось искривляется по дуге окружности (ρ = const). Подставим в формулу для определения σ значение кривизны, получим:

.

Из формулы видно, что нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно и достигают наибольшего значения в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При положительном изгибающем моменте нижние волокна будут растянуты (ρ > 0), а верхние волокна сжаты (ρ

При положительном изгибающем моменте все волокна, расположенные выше нейтральной линии, являются сжатыми, а ниже ее – растянутыми.

Рис. 9.5. Эпюра распределения нормальных напряжений в сечениях

с горизонтальной осью симметрии

Максимальные нормальные напряжения возникают при у = уmax. Таким образом,

.

Отношение осевого момента инерции к расстоянию от наиболее удаленной точки сечения до нейтральной оси называется осевым моментом сопротивления, т. е.

.

Момент сопротивления измеряется в сантиметрах кубических (см 3 ) и зависит от формы и размеров поперечного сечения, тогда

.

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии (рис. 9.6), то расстояния от нейтральной оси до крайних нижних и крайних верхних волокон различны.

Рис. 9.6. Эпюра распределения нормальных напряжений

в сечениях без горизонтальной оси симметрии

Обозначим их через hp и hссоответственно. Тогда напряжения в крайних волокнах выразятся формулами:

; .

9.3. Построение эпюр изгибающего момента М

и поперечной силы Q при изгибе

При расчете балок на изгиб необходимо знать законы распределения внутренних усилий в поперечных сечениях и уметь строить эпюры внутренних силовых факторов.

Рассмотрим три основных типа опорных связей балки.

1. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 9.7, а- левая опора балки), ограничивающая горизонтальное и вертикальное перемещение опорной связи и лишающая систему двух степеней свободы.

2. Шарнирно-подвижная опора (рис. 9.7, а — правая опора балки), ограничивающая вертикальное перемещение опорной связи и лишающая систему одной степени свободы.

3. Жесткая заделка (рис. 9.7, б), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизонтали сечения балки, примыкающего к опоре и лишающая систему трех степеней свободы.

Рассмотрим построение эпюр М и Q на конкретном примере (рис. 9.7, а). Решение задачи начинаем с вычерчивания расчетной схемы, приложив к балке внешние активные и реактивные силы. Заданная система является статически определимой, следовательно, из условий равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных закреплений определяем вертикальные реакции в опорах:

;

.

Для определения реакции НА имеем:

откуда НА = 0.

Для проверки правильности вычислений воспользуемся условием равенства нулю суммы всех вертикальных сил Sу = 0, откуда получим:

, реакции найдены верно.

Рис. 9.7. Расчетная схема однопролетной балки

Для определения внутренних силовых факторов (изгибающего момента М(z) и поперечной силы Q(z)), как функций от продольной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для получения этих зависимостей разбиваем балку на участки, границами которых являются следующие сечения: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенной нагрузки; сечения, в которых скачкообразно изменяется жесткость балки; точки, где происходит изменение положения элементов стержневой системы со сложной структурой.

Заданная балка (рис. 9.7, в) состоит из двух участков — первого (0 £ z1£ a) и второго (a £ z2 £ a + b). Рассматривая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и равновесие отсеченных частей балки при действии на них всех внешних сил и внутренних усилий, составим общие уравнения для внутренних силовых факторов.

В системе координат yz, принятой на рис. 9.8, а, положительный момент вызывает растяжение нижних волокон балки. При построении эпюры М(z) положительные ординаты откладываются вниз от нулевой линии, отрицательные – вверх.

Читайте также:  Аппарат для физиотерапии высокого напряжения

Рис. 9.8. Правило знаков для изгибающих моментов

и поперечных сил

Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результирующая поперечная сила Qy вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в противном случае — отрицательной (рис. 9.7, б). При построении эпюры Q(z) положительные ординаты откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз.

Из условия равновесия SMx = 0; Sy = 0 отсеченной части балки (рис. 9.7, г), расположенной левее от сечения z1 (первый участок), имеем:

Для определения Mx и Qy на втором участке рассмотрим равновесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z2 (рис. 9.7, г), т. е. SMx = 0; Sy = 0, откуда

Эпюры Mx и Qy построены на растянутых волокнах и изображены на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Построение эпюр Мх и Qу при изгибе

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Источник

Нормальные напряжения и их эпюры

Определение нормальных напряжений и деформаций при косом изгибе основано на принципе независимости действия сил. Всю нагрузку проецируют на две главные плоскости балки и строят эпюры изгибающих моментов в этих двух плоскостях. Затем по известным формулам прямого изгиба определяют напряжения и деформации. [1]

Для определения нормального напряжения в произвольной точке найдем его составляющие от каждого фактора для случая внецентренного растяжения. [2]

Для определения нормальных напряжений по сечениям вдоль образующих аппарат рассматривают как балку, лежащую на принятом числе опор. Число опор выбирают в зависимости от материала аппарата, его длины и рабочих условий. Для наиболее распространенных размеров горизонтальных аппаратов и емкостей разработан стандарт на число опор и расстояние между ними. [3]

Для определения нормальных напряжений ахх оказывается достаточно ввести гипотезу плоских сечений. [4]

При определении нормальных напряжений и перемещений обычно учитывают только изгибающие моменты и пренебрегают влиянием перерезывающих сил. Это обусловлено двумя причинами: а) малым влиянием перерезывающих сил на величину нормальных напряжений и перемещений ( особенно в тонких и длинных валах) и, главное, б) отсутствием инженерных методов расчета вала с учетом перерезывающих сил. [5]

Формула для определения нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях балок при прямом изгибе, а также выводы относительно положения нейтральной оси приводились к случаю, когда поперечное сечение балки имеет по меньшей мере одну ось симметрии и силовая плоскость проходит через эту ось. [6]

Условия прочности при растяжении, сжатии. Допускаемые напряжения.

Закон Гука при растяжении, сжатии.

По определению относительная деформация стержня равна

,

где , – первоначальная и текущая длина стержня соответственно.

Если удлинение стержня вызвано действием растягивающих нормальных напряжений , то относительная деформация

называется силовой деформацией (рис. 1.10, а). Если удлинение стержня вызвано изменением температуры , то деформация

называется температурной деформацией (рис. 1.10, б).

Рис. 1.10. Силовая (а) и температурная (б) деформации

В общем случае удлинение стержня происходит за счёт действия приложенных нагрузок и изменения температуры. Поэтому

. (1.16)

Как показывает опыт, силовая деформация стержня (рис. 1.10, а) пропорциональна действующим напряжениям , а температурная деформация стержня (рис. 1.10, б) пропорциональна приращению температуры :

, . (1.17)

Постоянная называется модулем Юнга (модулем растяжения или модулем упругости первого рода), постоянная температурным коэффициентом линейного расширения. Для углеродистых сталей при комнатной температуре модуль Юнга и коэффициент линейного расширения имеют следующий порядок величины: » 2×1011 Па, » 12×10–6 К–1.

Подставляя (1.17) в (1.16), имеем

(1.18)

. (1.19)

Равенство (1.19), как и эквивалентное ему равенство (1.18), носит название закона Гука при растяжении.

К примеру, если оба конца стержня закреплены, то его длина неизменна, а деформация . Тогда по формуле (1.16) при нагревании (охлаждении) стержня силовая деформация равна и противоположна по знаку тепловой деформации:

.

Согласно (1.19) возникающие при этом напряжения равны

.

Следовательно, когда приращение температуры , в стержне действуют сжимающие напряжения: . Напротив, в случае в стержне возникают растягивающие напряжения: .

Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При сжатии наоборот.

(2)относительное удлинение или линейные деформации.

Для многих конструкционных материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают линейную зависимость линейных деформаций от нормальных напряжений.

(3)закон Гука.

Е- модуль продольной упругости или упругости первого рода.

Срез и смятие. Основные допущения на срез и смятия.

Источник



НОРМАЛЬНЫЕ СИЛЫ И ИХ ЭПЮРЫ

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Лекция 2

Растяжение (сжатие) – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня появляются только нормальные силы, а остальные силовые факторы равны нулю. При этом положительная нормальная сила направлена в сторону внешней нормали к сечению, т.е. вызывает растяжение, а отрицательная – сжатие. Внешние силы в этом случае приводятся к равнодействующей, направленной вдоль оси стержня.

Читайте также:  Синусоидальный инвертор напряжения 24 220

Формально растяжение от сжатия отличается только знаком нормальной силы. Ниже будет показано, что это не всегда справедливо. В частности, при растяжении и сжатии могут сильно различаться механизмы разрушения. Кроме того, при сжатии длинных гибких стержней возникает опасность их изгиба, что значительно усложняет методы их расчета (см. раздел “Устойчивость сжатых стержней”).

Для нахождения нормальных сил применяется метод сечений – стержень мысленно рассекается плоскостью, перпендикулярной его оси, на две части. Взаимодействие частей стержня заменяется силой N, величина которой определяется из условия равновесия какой-либо из частей:

åFz=0: − F+N=0

(N>0 –растяжение )

Отметим, что в тех случаях, когда направление силы N заранее неизвестно, ее рекомендуется направлять в положительную сторону. Если при этом из решения уравнения равновесия сила получится положительной, это будет соответствовать чертежу, т.е. стержень окажется растянут, а при отрицательной силе – сжат.

Действующие на стержень внешние силы могут быть как сосредоточенными, так и распределенными. Примером распределенной продольной нагрузки может служить собственный вес массивного вертикально расположенного стержня (колонны). Интенсивность распределенной нагрузки в этом случае можно найти как произведение удельного веса материала γ на площадь поперечного сечения A(z):

q (z)=g . A(z)

Между интенсивностью распределенной нагрузки и нормальной силой в сечении существует дифференциальная зависимость, которую находят из рассмотрения равновесия выделенного из стержня элемента длиной dz.

Интенсивность нагрузки в пределах элемента ввиду его малости можно считать постоянной:

q(z) = q = const.

Тогда, проектируя силы на ось z ,получим

SFz = 0: -N – qdz + N + dN = 0.

q = dN/dz.

Интегрируя, находим выражение для нормальной силы:

N = N(0) +

Здесь N(0) – постоянная интегрирования – значение нормальной силы в начале участка (z = 0).

В случае одновременного действия на стержень нескольких нагрузок, для наглядности строят эпюру нормальной силы, т.е. график ее изменения вдоль оси стержня.

Пример 2.1. Построение эпюры нормальной силы.

Решение. Стержень разбивается на силовые участки, границами которых служат сечения, где приложены сосредоточенные нагрузки, либо начинается или заканчивается действие распределенных нагрузок. В нашем примере стержень имеет три таких участка. Для нахождения нормальной силы на каждом из участков поочередно мысленно проводится сечение, рассекающее стержень на две части. Записывая условия равновесия для показанных на рисунке отсеченных частей стержня, получаем выражения для нормальной силы на каждом из выделенных участков:

I. ;
II.

На основе этих уравнений строим эпюру N(z).

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ.

В соответствии с принципом Сен-Венана можно считать, что на некотором удалении от места приложения нагрузки, способ нагружения роли не играет, и нормальная сила определяется только равнодействующей нагрузки. Для большей части растянутого стержня справедлива гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения смещаются параллельно начальному положению, оставаясь плоскими.

Если представить себе стержень, состоящим из тонких продольных элементов, торцы которых образуют плоскости поперечных сечений, то все они будут удлиняться одинаково. Следовательно, напряжения в каждой точке поперечного сечения так же будут одинаковы, что позволяет однозначно определить их из интегрального условия равновесия:

(2.1)

Все изложенное справедливо и для коротких сжимаемых стержней.

Подчеркнем, что найти напряжение σ (x,y) только из условий равновесия

не удаётся, т.к. этим условиям могут удовлетворять различные законы распределения напряжения по сечению стержня σ( x, y).

Поэтому для нахождения функции σ(x,y) кроме условий равновесия необходимо дополнительно привлекать геометрические соображения, в нашем случае – гипотезу плоских сечений.

Рассмотрим возникающие при растяжении и сжатии деформации. При растяжении длина стержня l получит приращение на величину Δl , а поперечные размеры сократятся соответственно на Δa и Δb.

При сжатии соответственно уменьшится длина, и увеличатся поперечные размеры.

Рассмотрим элемент стержня длиной dz

Относительным удлинением стержня (продольной линейной деформацией)

Отсюда проинтегрировав это выражение по всей длине, получим абсолютное удлинение стержня

Эксперименты показывают, что линейная деформация по длине однородного стержня при растяжении постоянной силой не меняется, т.е. , или

Аналогично продольной деформации определяется поперечная деформация в направлении размеров a и b:

Знак «минус» в этом выражении отражает тот факт, что поперечные размеры уменьшаются при растяжении и увеличиваются при сжатии.

Для изотропных материалов можно принять , причем отношение поперечной деформации к продольной для каждого материала есть постоянная величина, называемая коэффициентом Пуассона:

У всех существующих материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5. Конструкционные стали имеют m = 0,25 ¸ 0,3.

Значение коэффициента Пуассона, близкое к 0,5, свидетельствует о несжимаемости материала, т.е. независимости его объема от действующих нагрузок.

Между напряжениями и деформациями при растяжении существует зависимость, известная как закон Гука:

Здесь E — модуль упругости при растяжении (модуль упругости I рода). Модуль упругости E и коэффициент Пуассона μ являются основными упругими константами материала. Для сталей модуль упругости E составляет величину 2,0 ¸ 2,2 . 10 5 МПа; для ряда других конструкционных материалов его значение можно найти, например, в справочных таблицах[6]. Подставив в формулу (2.3) выражения (2.1), (2.2), получим ещё одну формулу записи закона Гука, позволяющую найти абсолютное удлинение стержня при растяжении:

Читайте также:  Что такое воздушная линия электропередачи напряжением до 1кв

Знаменатель этой формулы (произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Для ступенчатого стержня, нагруженного несколькими сосредоточенными силами, удлинения вычисляются на участках, где сила N и жесткость EA постоянны, а результаты алгебраически суммируются:

Формулу ( 2.5 ) можно обобщить на тот случай, когда нормальная сила и жесткость стержня непрерывно меняются по длине:

Полученные зависимости позволяют найти продольные перемещения сечений растягиваемого стержня.

где u(0) – перемещение сечения, расположенного в начале координат. Принимая за начало отсчета неподвижное сечение, перемещение произвольного сечения u(z) можно найти как удлинение части стержня, расположенного между этим сечением и заделкой.

Пример 2.2. Построение эпюр нормальных сил, нормальных напряжений и продольных перемещений в вертикальном стержне. Площадь поперечного сечения A, удельный вес материала γ.

Пример 2.3. Построение эпюр нормальных сил, нормальных напряжений и продольных перемещений в ступенчатом стержне.

м кН кН кН

Решение. Построение эпюры нормальных сил ведем аналогично тому, как это делалось в примере 2.1. Выделяем три силовых участка, границами которых являются сечения, нагруженные внешними силами; на каждом из участков мысленно рассекаем стержень на две части, одну из которых отбрасываем, а ее действие на оставшуюся часть заменяем нормальной силой N. В нашем случае удобнее отбрасывать левые части стержня и находить силу N из условия равновесия правых частей. Принимая за начало отсчета крайнее правое сечение стержня и нумеруя участки справа налево, получим:

I. 0 ≤ za N = F3 = 1,0 кН;

II. a ≤ z ≤ 2,5a N = F3F2 = −2,0 кН;

III. 2,5 ≤ z ≤ 3,0a N = F3F2 + F1 = 3,0 кН.

Пользуясь найденными значениями, строим эпюру N.

Для нахождения нормальных напряжений воспользуемся формулой (2.1), при этом учтем, что на втором силовом участке (при z = 2a) площадь поперечного сечения стержня изменяется:

I. 0 ≤ za σ = N/A3 =1,0∙10 3 /(1,0∙10 -4 )=10∙10 -6 =10 МПа;

a ≤ z ≤ 2a σ = N/A2 =(−2,0∙10 3 )/(1,5∙10 -4 )=−13,33∙10 6 =−13,33 МПа;

II. 2a ≤ z ≤ 2,5a σ = N/A1 =(−2,0∙10 3 )/(2,0∙10 -4 )=−10,0∙10 6 =−10 МПа;

III. 2,5a ≤ z ≤ 3,0a σ = N/A1 =3,0∙10 3 /(2,0∙10 -4 )=15,0∙10 6 =15 МПа.

Поскольку левый торец стержня неподвижен, сначала найдем перемещение ближайшего к нему характерного сечения B – места приложения силы F1. Для этого воспользуемся формулой (2.4), учитывая, что перемещение любого сечения равно удлинению части стержня между этим сечением и заделкой:

Далее определим перемещение сечения C, воспользовавшись формулой (2.5):

Аналогично находим перемещения остальных характерных сечений.

Между характерными сечениями перемещения изменяются по линейному закону. По найденным значениям строим эпюры (см. рисунок).

НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ

Пусть площадь поперечного сечения n-n равна A, тогда площадь наклонного сечения с нормалью u

Проекции продольной силы на нормаль u и на плоскость сечения будут равны

Считая распределение напряжений по сечению равномерным, получим:

Здесь — нормальное напряжение в поперечном сечении n – n.

Анализируя полученные зависимости (2.7), можно сделать несколько выводов:

1) наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях, где a = 0; cos 2 a = 1;

2) наибольшие касательные напряжения возникают в сечениях, повернутых к оси стержня на 45°, и достигают половины наибольших нормальных;

3) в продольных сечениях ( ) как нормальные, так и касательные напряжения равны нулю, т.е. отсутствуют взаимное давление и сдвиг волокон;

4) сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно перпендикулярных площадках постоянна и равна s:

ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Равномерное распределение напряжений по площади поперечного сечения стержня нарушается не только в окрестности приложения нагрузок, но и вблизи мест резкого изменения формы или площади сечения.

Это явление носит название концентрации напряжений, а сами факторы, вызывающие ее – концентраторами напряжений. Концентрация напряжений значительно усложняет картину их распределения по сечению. Однако это усложнение носит местный характер. На рис.2.1 показано распределение напряжений на некотором удалении от концентраторов (сечения B,C) и вблизи них.

На некотором расстоянии от концентратора, обычно очень небольшом, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно и вычислять по формуле (2.1). Напряжения, найденные по этой же формуле для сечений с концентраторами называют номинальными:

здесь Aнетто – площадь поперечного сечения с учетом ослаблений, вносимых концентратором.

Рост напряжений вблизи концентраторов описывают с помощью теоретического коэффициента концентрации напряжений :

Принято считать, что при статическом нагружении пластичные материалы мало чувствительны к наличию концентраторов. Если же нагрузки циклически меняются во времени, либо материал хрупкий, то влияние концентрации напряжений на прочность необходимо учитывать.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник