Меню

Треугольники мощностей если угол равен

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла Bb, сторона напротив угла Cc. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, =A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что .

Так как ∠A=∠A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины A и A1 совпадали, а стороны AB и наложились на лучи A1B1 и A1C1, соответственно.

Так как по условию теоремы AB=A1B1, =A1С1, то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона − со стороной A1С1.Тогда совместятся B и B1, C и С1. Следовательно сторона BC совместится со стороной B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что .

Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, сторона AB − со стороной A1B1 (по условию теоремы AB=A1B1), а вершины C и С1 оказались по одну сторону от прямой A1B1.

Читайте также:  Как увеличить мощность двигателя ман

Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то сторона наложится на луч A1C1 а сторона − на луч B1С1. Тогда вершина C окажется на луче A1C1 и на луче B1C1. Т.е. она окажется на пересечении этих лучей и, следовательно, вершина C совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т.е. с вершиной C1. Таким образом совместятся стороны AC и A1C1, BC и B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.

Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Вариант 1 (Рис.6). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и ∠3=∠4 и, следовательно:

.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:

.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

Источник

Треугольник мощностей

Дата публикации: 17 апреля 2015 .
Категория: Статьи.

Если величины треугольника напряжений (рисунок 1, а) умножить на ток I (рисунок 1, б), то получим треугольник мощностей (рисунок 1, в). Все стороны треугольника мощностей, показанного отдельно на рисунке 2, представляют собой мощности.

Рисунок 1. Получение треугольника мощностей

Рисунок 2. Треугольник мощностей

Гипотенуза треугольника мощностей есть полная мощность S.

Она измеряется в вольт-амперах (ВА) или киловольт-амперах (кВА) по показаниям вольтметра и амперметра. Величина полной мощности характеризует основные габариты (наибольшие размеры) генераторов и трансформаторов. В самом деле, изоляция обмоток генераторов и трансформаторов рассчитывается на определенное напряжение, а величина тока определяет нагрев их обмоток (I 2 × r).

Катет, прилегающий к углу φ, представляет собой известную нам активную мощность P.

Активная мощность в цепях переменного тока расходуется на нагрев. В двигателях переменного тока большая часть активной мощности превращается в механическую мощность.

Активная мощность измеряется ваттметром и выражается в ваттах (Вт) или киловаттах (кВт). Из треугольника мощностей имеем:

Активная мощность характеризует степень нагрузки первичного двигателя, вращающего генератор.

Катет, лежащий против угла φ, есть реактивная мощность Q.

Так как Ur = I × x (где x – реактивное сопротивление), то

Реактивная мощность обусловлена наличием магнитных и электрических полей в индуктивностях и емкостях цепей. Из треугольника мощностей имеем:

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (вар) или киловольт-амперах реактивных (квар). Применяя к треугольнику мощностей теорему Пифагора, получим:

Полная мощность

Электрическая цепь с активным и индуктивным сопротивлениями и измерительными приборами
Рисунок 3. Электрическая цепь с активным и индуктивным сопротивлениями и измерительными приборами

Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рисунке 3, в которую входят индуктивное и активное сопротивления и измерительные приборы – амперметр, вольтметр и ваттметр.

1. Если подключить эту цепь к постоянному напряжению, то, поскольку индуктивное сопротивление xL при постоянном токе будет равно нулю, в цепи остается одно активное сопротивление r и тогда

Ток при постоянном напряжении

Амперметр покажет ток 5 А.

Следовательно, ваттметр покажет 600 Вт. Таким образом, ваттметр, включенный в цепь постоянного тока, показывает мощность в ваттах, потребляемую цепью. Показание ваттметра равно произведению показаний вольтметра и амперметра.

2. Подключим ту же цепь к переменному напряжению.

Полное сопротивление

Ток при переменном напряжении

Амперметр покажет ток 4 А.

Подсчитаем мощность, идущую на нагрев:

Показание ваттметра в этом случае будет 384 Вт.

Полная мощность, забираемая цепью от источника переменного тока,

Читайте также:  Таблица мощность ток выключатель автоматический

Следовательно, генератор, питающий эту цепь, отдает полную мощность S = 480 ВА. Но в самой цепи только активная мощность P = 384 Вт безвозвратно теряется в виде тепла.

Отсюда видно, что цепь переменного тока, содержащая наряду с активным сопротивлением индуктивное, из всей получаемой ею полной энергии только часть расходует на тепло. Остальная часть – реактивная энергия – то забирается цепью от генератора и запасается в магнитном поле катушки, то возвращается обратно генератору.

Источник: Кузнецов М. И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560 с.

Источник



БЛОГ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА

Студенческий блог для электромеханика. Обучение и практика, новости науки и техники. В помощь студентам и специалистам

08.04.2013

Треугольники напряжений и мощности. Активная, реактивная и кажущаяся мощности

Умножив правые и левые части этого равенства на I 2 , получим:

Это соотношение, как известно из геометрии, выражает зависимость между сторонами в прямоугольном треугольнике. Если построить прямоугольный треугольник, катеты которого (стороны прямого угла) будут соответственно равны Ir и Ix, то гипотенуза этого треугольника будет равна Iz.

Такой треугольник abc, называемый треугольником напряжений, представлен на рис. 1. Угол ф, показанный на треугольнике, равен углу сдвига фаз между напряжением цепи и током.

Если стороны треугольника напряжений умножим на ток I, получим треугольник, у которого гипотенуза будет равна произведению I 2 z, один катет равен I 2 r, а другой I 2 x. Этот треугольник называется треугольником мощностей (рис. 2). Так как Iz = U, то гипотенуза этого треугольника будет численно равна

Произведение UI, равное гипотенузе треугольника, называется кажущейся мощностью и измеряется вольт-амперами (ва) или киловольт-амперами (ква).

Величина I 2 r называется активной мощностью, обозначается Ра и измеряется ваттами (вт) и киловаттами (квт). Произведение I 2 x носит название реактивной мощности, обозначается Рr и измеряется вольт-амперами реактивными (вар) или киловольт-амперами реактивными (квар).

Из треугольника мощностей следует, что

Отношение I 2 r/UI называемое коэффициентом мощности, показывает, какая часть энергии, вырабатываемой источником э. д. с., безвозвратно расходуется в цепи на превращение электрической энергии в механическую, тепловую и т. п.

Отношение катета I 2 r к гипотенузе UI представляет собой косинус угла ф; следовательно, коэффициент мощности равен cosф.

Реактивная мощность Рr связана с возникновением и исчезновением магнитных и электрических полей. Эта мощность безвозвратно в цепи не расходуется; она то исходит от источника тока, то обратно возвращается к нему. Поэтому при определении расхода энергии в цепи учитывают только активную мощность.

Источник