Меню

При линейном напряжении закон гука

Напряжения и деформации. Закон Гука

Основные понятия. Метод сечений.

Растяжение или сжатие возникает, когда равнодействующие внешних нагрузок действуют вдоль оси стержня. В поперечном сечении стержня имеет место только одна внутренняя сила N, действующая вдоль его оси. Эту внутреннюю силу называют продольной силой или нормальной силой (действует по нормали к поперечному сечению). На рис. 2.1 изображен прямой стержень, работающий на растяжение.

Рис 2.1. Прямой стержень, работающий на растяжение

Правило знаков для продольной силы. Продольная сила будет положительной, если она вызывает растяжение, т.е., направлена от сечения.

Знак продольной силы не зависит от направления оси координат, а определяется физическим воздействием на сечение. Если продольная сила будет направлена к сечению, то она вызывает сжатие ( сжимающая сила) и перед ней ставят знак «минус». Если она направлена от сечения, то перед ней ставят знак «плюс» (растягивающая сила). На рис. 2.2. изображена положительная продольная сила, действующая на крайние сечения малого элемента, вырезанного из прямого стержня.

Рис 2.2. К правилу знака продольной силы N

Знак сжимающей силы имеет значение в расчетах на прочность в строительстве. Бетон, кирпичная или каменная кладка плохо работают на растяжение и хорошо – на сжатие. Например, арки древних каменных храмов, сохранившиеся до сегодняшних дней – это элементы строительных конструкций, в поперечных сечениях которых имеют место только сжимающие продольные силы. Конечно, древние строители не выполняли расчетов, а набирали опыт по мере работы.

Сталь одинаково хорошо сопротивляется и сжатию, и растяжению. Стальную арматуру закладывают в растянутые зоны бетона для того, чтобы он не разрушался от растяжения. Получившийся материал называется железобетоном.

Метод сечений . Для определения внутренних усилий в стержнях используется метод сечений, суть которого состоит в следующем.

1. Разрезают стержень на две части плоскостью, перпендикулярной оси (проводят поперечное сечение).

2. Отбрасывают одну из двух частей стержня.

3. Заменяют действие отброшенной части на оставшуюся часть стержня неизвестными внутренними усилиями.

4. Уравнения равновесия, составленные для оставшейся части стержня, позволяют определить внутренние усилия.

Вычислив продольные силы в различных сечениях, можно построить график зависимости , который называется эпюрой продольной силы.

Дифференциальная зависимость между q и N

Рис 2.3. К выводу дифференциальной зависимости между q и N

Составим уравнение равновесия для малого элемента, вырезанного из стержня, загруженного распределенной нагрузкой q (рис. 2.3).

Отсюда получаем дифференциальную зависимость между q и N:

Первая производная от продольной силы по переменной х равна с обратным знаком интенсивности продольной нагрузки. Исходя из свойств производной, из (2.1) можно сделать вывод о том, что, если q( x) является полиномом n степени, то N( x)будет представлять собой полином n+1степени. Это позволяет определить, какой вид будет иметь график функции N( x)в зависимости от q( х). В дальнейшем нам пригодятся для изучения курса три следствия:

1) если q = 0 (т. е. нагрузка q отсутствует), то N(x) = const;

2) если q(x) = const, то есть является равномерно распределенной нагрузкой, то N(x) – линейная функция;

3) если q(x) = линейная функция, то N(x) – квадратная парабола.

Эпюра продольных сил

Эпюрой продольных сил называется график функции N( x).

Рассмотрим прямой стержень, загруженный продольными нагрузками и находящийся в равновесии (рис. 2.4). Предположим, что ось Ох (на рисунке не показана), направлена вправо.

Рис 2.4. Определение продольной силы методом сечений

Определим продольную силу в произвольном сечении К.

В соответствии с методом сечений отбросим левую часть и составим уравнение равновесия для правой части, направив неизвестную силу N от сечения (предполагая ее растягивающей):

Находим продольную силу:

Таким образом, продольную силу в поперечном сечении можно найти суммированием внешних сил, которые находятся справа от сечения.

Отбросим теперь правую часть и рассмотрим уравнение равновесия для левой части:

Находим продольную силу:

Отсюда следует, что продольную силу в поперечном сечении можно найти также суммированием внешних сил, которые находятся слева от сечения.

На основании формул (2.2) и (2.3) можно сделать следующий вывод: продольная сила в поперечном сечении стержня – это сумма проекций на ось стержня внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Продольной силой можно считать проекцию главного вектора системы внешних сил, расположенных с одной стороны от сечения, на ось стержня. Эта проекция приложена в точке центра тяжести сечения, причем, если она направлена в сторону внешней нормали по отношению к оставшейся части, то она будет положительной.

Проиллюстрируем, как можно найти силу N в произвольном сечении (рис. 2.5).

Рис 2.5. К определению продольной силы

Нужно провести сечение, перенести к нему силы, расположенные с одной стороны от сечения, и просуммировать их, причем те силы, которые «давят» на сечение, нужно брать со знаком «минус», а те силы, которые направлены от сечения, следует брать со знаком «плюс».

Читайте также:  Как получить постоянное напряжение 12в

Отметим некоторые общие правила построения эпюр продольных сил.

Эпюра строится на линии, параллельной оси стержня (иногда ее называют базовой линией или базой эпюры). Через характерные сечения проводятся выносные линии, на которых в определенном масштабе откладываются значения N в этих сечениях и соединяются линиями. Над эпюрой указывается обозначение функции (в данных примерах N) и ее размерность. Эпюра заштриховывается перпендикулярно оси, при этом каждая штриховая линия как бы указывает значение N в соответствующем сечении. Внутри эпюры в кружочках указывается знак N на соответствующем участке. При этом, как правило, положительные значения откладываются в правую сторону (если эпюра построена на горизонтальной линии, то положительные значения откладывают вверх).

На основании изучения построенных эпюр и следствий из дифференциальной зависимости можно отметить характерные особенности эпюры N, которые обычно используют для ее контроля.

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре N имеется скачок на величину этой силы.

2. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра N имеет линейный характер, причем изменение функции N(х) на участке равно ql.

3. На участке, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра N является постоянной.

Напряжения и деформации. Закон Гука

Нормальные напряжения в поперечных сечениях. При центральном растяжении (сжатии) стержней в их поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие – продольная сила N.

Поэтому в этих сечениях будут возникать только нормальные напряжения . Поскольку других нормальных напряжений в поперечных сечениях нет, будем в дальнейшем опускать индекс у напряжения, обозначая .

В соответствии с гипотезой плоских сечений сечения, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации.

Можно показать, что применение этой гипотезы приводит к простой формуле для определения нормальных напряжений при растяжении и сжатии.

Эти напряжения постоянны по сечению (рис. 2.5)

Рис 2.5. Распределение нормальных напряжений по сечению при растяжении

При известной эпюре продольных сил формула (2.5) позволяет довольно просто построить эпюру . Для этого необходимо в характерных сечениях разделить значение силы N на площадь поперечного сечения А. Если площадь постоянна по длине стержня, эпюра будет полностью подобна эпюре N.

Напряжения на наклонных площадках. Рассмотрим элемент стержня, образованный поперечным и наклонным к оси стержня сечениями (рис. 2.7, а). Стержень растягивается силами F по его концам.

Рис 2.7. Напряжения на наклонных площадках

Обозначим площадь наклонного сечения А, тогда площадь горизонтальной площадки будет равна А ×соs α (рис. 2.7,б), где α – угол поворота нормали наклонного сечения относительно оси х. Очевидно, что продольная сила равна N = F = s х × ( А соs α) = p n А и постоянна по длине стержня. Поэтому полные напряжения p n = s х соs α.

Разложим вектор полного напряжения p n на две составляющие s α и t α и составим два уравнения равновесия и для выделенного треугольного элемента.

Обозначая s x = s, из этих уравнений найдем

Источник

Закон Гука [в понятной форме]

Обычно при изучении закон Гука не вызывает особых сложностей. Запомнить, что деформация в упругом теле пропорциональна приложенной к нему силе , совсем не сложно.

Чаще всего, этого знания вполне достаточно для школьного курса, чтобы забыть про Гука навсегда :). Чтобы он лучше запомнился, глянем на портрет.

Однако, если вы изучаете физику по углубленной программе или если ваш преподаватель хочет добиться демонстрации понимания этого закона на более высоком уровне, то сказанного явно недостаточно. Кроме того, при поступлении в технический институт, знаний этих тоже мало. Ведь на законе Гука держится великий и ужасный сопромат ! Да и при изучении механики — это один из самых важных законов .

Давайте изложим основные постулаты Гука в простой и понятной читателю форме, ну а если вопросы останутся — пишем их в комментариях или в личку.

Введение и основные понятия

Наверняка вы в детстве играли с такой штукой, которая называется лук со стрелами. Принцип работы этого устройства очень прост. Есть согнутая палка, чаще всего из ивы, и есть тетива, которая связывает концы палки. Когда мы натягиваем тетиву стрелой, то сила упругости палки заставляет её возвращаться к прежнему состоянию и передавать энергию стреле.

Закон Гука [в понятной форме]

Как вы догадываетесь, ключевое слово тут — сила упругости . Это такая сила, которая возникает в теле при попытке это тело согнуть или изменить его форму, то есть деформировать. Кстати, про силу полезно прочитать вот это . Обусловлена она внутренним взаимодействием частичек.

И тут тоже появилось новое слово — деформация. Думаю, пояснять что это такое, не нужно.

А вот сказать, что деформация бывает обратимая (упругая) и необратимая , важно. Ведь закон Гука работает в случаях существования упругой деформации.

Упругая деформация — это такая деформация, после которой тело возвращается к своим первоначальным геометрическим характеристикам, после снятия внешнего воздействия.

Читайте также:  Нормальное напряжение аккумулятора при работающем двигателе автомобиля

Закон Гука [в понятной форме]

Простейшие виды деформации — это растяжение и сжатие. Сразу вспоминаем пружину. Ну и в учебнике физики вы как раз-таки встретите закон Гука, который раскрывается на примере пружины.

Формулировка закона Гука

Формулируется закон так:

Если записывать его в виде формулы, то имеем следующее:

F = -kx ,

где F — сила упругости в теле, k — коэффициент упругости или жесткости, x — линейное изменение размеров тела.

Закон Гука [в понятной форме]

Почему тут минус ? Да его можно и не писать, если понимать логику. Вспоминаем, что сила есть вектор. Так как сила, возникающая в теле, противонаправлена силе приложенной, то формула записывается с минусом.

Иногда вместо k или x используют другие обозначения, но смысл от этого не меняется.

Разбираемся с новыми буквами

У нас появилась сила упругости в теле . Именно она в формуле — это F. Вспоминаем, что по третьему закону Ньютона (обязательно читаем) , она равна силе или векторной сумме сил, воздействующей на тело. Мы считаем именно эту силу. Поэтому, если, скажем, предстоит решить задачу, где книга лежит на столе, а стол гнется, то мы считаем, что сила упругости в столе, равна нашему любимому m*g, так как книга притягивается к полу и вызывает изгиб стола .

k — это жесткость тела . Зависит она от материала и характеристик тела. Очевидно, что деревянная доска и железная труба будут иметь разные жесткости .

Стоит отметить, что это величина расчётная , но в начале изучения вы будете брать её из табличек и считать константой. А вот дальше нужно будет вспомнить/изучить, такую штуку, как модуль упругости первого рода или модуль Юнга . Это уже основы сопротивления материалов и начнется «О Боже, профессор нинада!»)

х — это линейное удлинение. Считается очень просто. Сколько стало минус сколько было :). В сложных случаях считается тоже посложнее, но нужны просто знания геометрии.

Новые важные понятия и обобщенный закон Гука

Про обобщенный закон Гука следует написать отдельную статью. Здесь же отмечу, что искушенный читатель наверняка заметил — пока речь идёт только об одноосном деформировании . Мы работаем с пружиной, которую можно растянуть вдоль оси икс или сжать вдоль оси икс. А что, если пружина будет растягиваться и сгибаться одновременно.

Реальные тела обычно деформируются во все стороны. В дело вступают сразу три направления.

Закон Гука [в понятной форме]

В этом случае нужно использовать обобщенный закон Гука . Используются так называемые тензоры. Это большая тема, а тут отметим, что если вас вдруг спросили, а какие ограничения есть у стандартного закона Гука, то обязательно не забудьте сказать, что деформация должна происходить вдоль одной оси.

Ещё при разговоре об ограничениях выполнения закона стоит отметить про предел пропорциональности . Это максимальное механическое нагружение, до которого выполняется закон Гука . Смотрим на график. По оси Ыгрик у нас отложено механическое напряжение (читай как сила для упрощения), а по оси Ыкс — изменение размеров. Пока у нас есть линейная зависимость, отмеченная красной прямой линией, закон Гука будет выполняться.

Закон Гука [в понятной форме]

Все тела ведут себя по разному и при достижении точки А одни тела развалятся/сломаются, а другие необратимо удлинятся/сожмутся. В конкретном примере тело расслюнявило, но оно не сломалось. Связь между силой и деформацией стала нелинейной .

Закон Гука выполняется только при малых деформациях и далеко не для всех материалов ! Так, для многих полимеров закон Гука не будет выполняться. Выполняется он только, напомним, в линейных системах.

Как же описывать связь силы упругости и деформации в нелинейных системах, т.е. когда деформация не мала . Или что делать, когда закон Гука неприменим. Очень хорошо, что вы об этом задумались! Но это большая и сложная тема. Всё опять сводится к закону Гука в обобщенной форме и условно принимается, что деформация мала. Примерно так :).

Закон Гука [в понятной форме]

Но вообще, при больших деформациях следует использовать иные способа расчёта.

Источник



При линейном напряжении закон гука

Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

Читайте также:  Ибс стенокардия напряжения впервые возникшая история болезни

При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения

Рис.1. Одноосное напряженное состояние

Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности материала одинаков для обоих ортогональных направлений.

Соотношения, аналогичные (1) и (2), в случае одноосного нагружения в направлении осей Оу, Ог напряжением , , соответственно имеют вид

При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

С учетом формул (1 — 4) получим

Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.

Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и — соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

Для малых деформаций

С учетом этих соотношений

До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

Из обобщенного закона Гука (5) получим

Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

Источник