Меню

При косом изгибе возникают только нормальные напряжения

Сложное сопротивление.

Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.

Косой изгиб.

Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.

В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.

Косой изгиб

Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.

Условие прочности при косом изгибе:

условие прочности при косом изгибе

где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.

Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:

условие прочности для сечений имеющих две оси симметрии

где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.

Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.

Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:

прогиб при косом изгибе

Изгиб с растяжением (сжатием).

При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.

Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:

изгиб с растяжением

К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;

Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:

внутренние силовые факторы при изгибе с растяжением

Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:

Напряжение в произвольно выбранной точке при изгибе с растяжением

где А — площадь поперечного сечения.

Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:

Условие прочночти при изгибе с растяжением

Условие прочночти имеет вид:

Косой изгиб

Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.

Внецентренное растяжение или сжатие.

При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.

внецентренное растяжение или сжатие

К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;

Приведём силу F к центру тяжести:

приведение силы к центру тяжести

где уF , xF — координаты точки приложения силы F.

В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:

нормальное напряжение при внецентренном растяжение или сжатие

Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:

Условие прочности для бруса при внецентренном растяжение или сжатие

Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.

Кручение с изгибом.

Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.

Кручение с изгибом

Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:

Напряжения в сечениях вала от кручения и от изгиба

Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом

Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:

Читайте также:  Указатель напряжения описание характеристики

Нормальное напряжение при кручении с изгибом

Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:

Касательное напряжение от крутящего момента

Из третьей и четвёртой теории прочности:

эквивалентный крутящий момент

При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:

Источник

Косой (двойной) изгиб

Если плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки, то происходит так называемый косой изгиб .

Такой случай имеет место, например, при изгибе консольного бруса силой, приложенной к плоскости торцового сечения под некоторым углом α к его оси симметрии (рис. 10.1). Косой изгиб является плоским, то есть изогнутая ось балки остается после деформации плоской кривой, но характеризуется тем, что в отличие от прямого изгиба, силовая плоскость и плоскость, в которой расположена изогнутая ось (плоскость изгиба), не совпадают.

Косой изгиб можно представить, как сочетание двух прямых изгибов, если разложить изгибающий момент по главным плоскостям балки не два составляющих момента M y и M z .

Проведем сечение на расстоянии x (рис. 10.1) от правого конца бруса и рассмотрим равновесие отсеченной правой его части.

Изображая изгибающий момент в левом сечении (при взгляде на это сечение со стороны внешней нормали) по правилам механики в виде вектора, нормального к плоскости действия этого момента (рис. 10.2), и раскладывая этот вектор по главным центральным осям y и z , получаем

где M = Px — изгибающий момент в данном поперечном сечении.

На основании принципа независимости действия сил косой изгиб рассматривается как результат действия на брус двух прямых изгибов, действующих в главных плоскостях. Этот принцип применим, если напряжения от отдельного действия изгибающих моментов, а также суммарное напряжение, не превышают предела пропорциональности. Нормальное напряжение σ в какой-либо точке поперечного сечения при косом изгибе получим как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных в той же точке моментами M y и M z :

Здесь y и z — координаты исследуемой точки сечения в осях, совмещенных с главными центральными осями инерции сечения. Эпюра нормальных напряжений для прямоугольного сечения показана на рисунке 10.3.

Геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией сечения . Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой – сжимающие напряжения. Уравнение нейтральной линии найдем, приравнивая правую часть равенства (10.1) нулю:

После преобразований получаем:

где угловой коэффициент уравнения нейтральной линии равен

Таким образом, нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.

Зная положение нейтральной линии нетрудно определить положение опасных точек сечения. Опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной линии . Для сечения произвольной формы (рис. 10.4) необходимо провести касательные к контуру поперечного сечения параллельно нейтральной линии. Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то опасной будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии (на рис. 10.4 это точка A ). Для хрупких материалов необходимо проверить две точки A и B при условии, что в наиболее удаленной точке действуют сжимающие напряжения.

Для сечений, имеющих оси симметрии и выступающие углы (см. рис. 10.2), опасными будут угловые точки, в которых напряжения от обоих изгибающих моментов имеют одинаковый знак.

Напряжения в опасных точках определяются по формуле (10.1) путем подстановки в нее координат этих точек. Условие прочности при косом изгибе запишется так:

где y A , z A — координаты опасной точки наиболее нагруженного (опасного) сечения бруса; [ σ ] — допускаемое напряжение для материала бруса при простом растяжении или сжатии.

Читайте также:  Функции конфликта разрядка напряжения

Из формулы (10.3) следует, что нейтральная линия наклонена к оси z под углом β :

В то же время тангенс угла наклона вектора к оси z равен:

Таким образом, в общем случае между углами α и β существует следующее соотношение:

Так как I y ≠ I z , то угол α не равен углу β . Следовательно, при косом изгибе, в отличие от прямого изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а составляет с ней угол φ =| β — α | (см. рис. 10.2).

Если I y = I z , то нейтральная линия нормальна к плоскости действия изгибающего момента; при этом любая центральная ось является главной и имеет место не косой, а прямой изгиб.

Полное перемещение δ центра сечения бруса, как следует из принципа независимости действия сил и представления косого изгиба в виде комбинации двух плоских изгибов, равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из указанных плоских изгибов в отдельности (см. рис. 10.2), то есть:

Перемещения δ y и δ z в главных плоскостях определяются способом Мора или другими, рассмотренными выше методами. При этом в общем случае справедливы следующие равенства:

где функция f ( x ) определяется условиями нагружения и закрепления концов бруса. Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси y :

Следовательно β = γ . Это означает, что при косом изгибе смещение центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента, а в направлении нормали к нейтральной линии (см. рис. 10.2).

При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изгиба не совпадает с плоскостью действия нагрузки.

Если внешние силы и пары, изгибающие брус, будут располагаться в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса будет пространственной кривой.

Источник



Нормальные напряжения при косом изгибе

Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Нормальные напряжения при косом изгибе

  • Нормальное напряжение при косом изгибе косой изгиб — это вид изгиба, при котором рабочая поверхность полного изгибающего момента в поперечном сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения. Косой изгиб происходит в балках с прямой осью из-за несогласованности линии действия внешней нагрузки(силовой линии) с какой-либо главной центральной осью инерции. В этом случае силовая линия проходит через центр тяжести поперечного сечения балки. Если все внешние силы находятся в одной плоскости, происходит плоский косой изгиб. В этом случае упругая линия балки представляет собой плоскую кривую. Если нагрузка расположена в разных плоскостях, то в балке возникает

пространственный косой изгиб, а упругая линия-пространственная кривая. Исследовано явление плоского косого изгиба. В качестве примера рассмотрим консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой F, которая направляет угол A в осевом направлении, учитывая, что силовая линия проходит через центр тяжести сечения(фиг. 22.1, а). Сила F разлагается на составляющие в направлении центрального шпинделя Oh и Oh. Fy = Feos a, Fx = F sin a. Компоненты Fy и Fx вызывают поперечный изгиб балки относительно осей oh и Oh. Изгибающий момент MX и Mu в любом сечении на расстоянии g от свободного конца балки будет равен: =FyZ=ФЗ потому что, МЮ=валютном з=ФЗ грех.

вертикальной плоскости yOz mx и график горизонтальной плоскости hog Mu — (рис. 22.1, 6, б). Признаков сюжета MX и Mu не показывают, а 251 страница 22.2 Вертикальная ось откладывает^со стороны растянутых волокон пучка. Таким образом, косой изгиб-это совокупность изгибов двух прямых линий в плоскости, перпендикулярной друг другу. Кроме изгибающего момента MX, Mu, в поперечном сечении существуют поперечные силы Qx и Qy, действующие вдоль соответствующих осей Oh и Oh. На практике поперечная сила обычно не принимается во внимание, и расчет прочности проводится по нормальному напряжению. Нормальные напряжения от каждого изгибающего момента MX и MU определяются уравнением поперечного изгиба, полученным ранее. Исходя из принципа независимости суммы — » сечение изгибающего момента M X и нормального напряжения Mar в любой точке Mu

Читайте также:  Стабилизатор напряжения 12в с полевым транзистором

записывается следующим образом:=°MX+°mu=Mxy!J x+V / 7 1=МХ/Г Х+М ylW г. Людмила Фирмаль

Формулы(22.4)видно,что в отличие от прямого поперечного изгиба при косом изгибе нейтральная ось не перпендикулярна силовой линии(tgcp^tga). Величина угла между ними зависит от отношения главных центральных моментов инерции к сечениям Jx и Jy. Только участки с Jx=J y (круг, кольцо, квадрат, равносторонний, правильный шестиугольник и т. д.). В этих участках угол между нейтральной осью и силовой линией составляет 90°, так как вся центральная ось является главной осью, и поэтому нет косого изгиба. Построим суммарный график нормального напряжения O2 для сечения, показанного на рисунке. 22.3. Проведите через центр тяжести нейтральную ось p-p по оси Oh параллельно углу CP, который находится на ней двумя касательными к сечению. В этом разделе

точки d и B не являются точками A, а находятся дальше всего от нейтральной оси. Перпендикулярно нейтральной оси нарисуйте ось графика O2. Величина вертикальной оси напряжения o2b и o2o соединены прямой линией. Пространственный косой изгиб происходит в балке под действием нагрузок, расположенных в разных плоскостях. Например, однопролетная балка с силой L, перпендикулярной сечению C, и силой F2, горизонтальной сечению D, испытывает пространственный косой изгиб(рис. 22.4, а). Действующая нагрузка может быть разложена на составляющие в направлении главной центральной оси инерции сечения, а также плоского косого изгиба. Затем эпюру изгибающих моментов МХ и Му. Пусть основные

центральные оси инерции Oh и Oh совпадают с направлением действующих сил F2 и F на рассматриваемую балку. Затем по вертикали- 254 страницы. Рис. 22.3. 22.4 Сила F\вызывает боковой изгиб относительно оси ox, а горизонтальная сила — вызывает боковой изгиб относительно оси OU, а соответствующие участки MX и Mu(рис. 22.4, б). Общее нормальное напряжение O2 от действия на соединение изгибающего момента MX и Μ в поперечном сечении балки рассчитывается по формуле (22.1). В пространстве косого изгиба отношение изгибающего момента MX к MU изменяется по длине балки. Нейтральная ось имеет разные положения в разных сечениях, и только формула (22.3) может быть использована для определения ее направления: tg f= = = A1u/X / M X / y. В этом случае величина угла между нейтральной осью и силовой линией зависит не только от соотношения основных моментов инерции сечения, но и от соотношения изгибающих моментов MX и Mu.

Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбе

Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбеf9219603113@gmail.com


Помощь студентам в учёбе

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник