Меню

Определить нормальные напряжения сечение двутавра

Полная проверка прочности двутавровой балки

1) Проверка по нормальным напряжениям:

Эквивалентные напряжения в точках а по IV теории прочности

13 Какую величину называют осевым моментом инерции сечения? Какова его единица измерения?

14 Какую величину называют осевым моментом сопротивления сечения изгибу? Какова его единица измерения?

15 По какому условию прочности определяют сечения балок при поперечном изгибе и почему?

16Что понимают под эквивалентными напряжениями?

17 Почему для двутавровых сечений необходима проверка по эквивалентным напряжениям?

СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ С ИЗГИБОМ

Теоретические сведения

В разделе 3 рассматривается чистое кручение валов, но на практике кручение валов всегда сопровождается поперечным изгибом, в основном усилиями в насаженных на них элементах передач. В результате внутренние усилия в поперечных сечениях вала в общем случае приводятся к пяти силовым факторам: крутящему моменту Mкp.z, изгибающим моментам Mux и Muy и перерезывающим силам Qy и Qx (рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – Схема внутренних силовых факторов в поперечном сечении вала, работающего на кручение с изгибом

Как правило, у валов касательные напряжения, возникающие от действия перерезывающих сил Qy и Qx, невелики и при расчетеих не учитывают. Поэтому расчет валов, работающих на кручение с изгибом, производят по трем внутренним силовым факторам: Mкp.z, Mux, Muy, которые вызывают в их поперечных сечениях нормальные напряжения s и касательные t (рис. 5.2).

Рисунок 5.2 – Распределение нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении вала, работающего на кручение с изгибом

Максимальные нормальные напряжения от изгиба в поперечном сечении вала возникают у его поверхности в осевой плоскости действия результирующего изгибающего момента – точки a’ и a» (см. рис. 5.2).

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении вала также возникают у его поверхности. Таким образом, опасными будут точки a’ и a».

Элементарные параллелепипеды, выделенные в окрестности точек a’ и a», находятся в условиях такого же плоского напряженного состояния, что и при поперечном изгибе (см. рис. 4.8), для которого эквивалентные напряжения по III и IV теориям прочности определяются формулами (4.7), (4.8). Разница состоит только в том, что при поперечном изгибе касательные напряжения вызваны не крутящим моментом, а перерезывающей силой.

Для конкретного поперечного сечения вала нормальное и касательное напряжения в опасных точках:

Для сплошного поперечного сечения вала осевой и полярный моменты сопротивления сечения:

При этом для вала формулы (4.7), (4.8) принимают вид:

— по III теории прочности

— по IV теории прочности

Здесь Мпр – приведенный момент. Можно считать что Мпр – это условный внутренний изгибающий момент в сечении, эквивалентный одновременно действующим в нем реальным внутренним изгибающему и крутящему моментам Мu.p и Мкр.z.

При этом условие прочности вала, испытывающего одновременное действие кручения с изгибом,

Читайте также:  Как проверить мультиметром провод высокого напряжения

где по III теории прочности (максимальных касательных напряжений)

по IV теории прочности (энергетической)

Для нахождения сечения c Mnp=Mnр.max необходимо предварительно построить эпюры Мu.p=f(Z) и Mкp.z=f(Z). При этом для построения эпюры Мu.p вначале должны быть построены эпюры Мux и Мuу. Понятно, что для каждого поперечного сечения вала результирующий момент будет иметь свою осевую плоскость действия. Но так как вал имеет круглое поперечное сечение, для которого моменты сопротивления относительно всех осей одинаковы, то без влияния на результаты расчета можно построить условную эпюру Мu, совместив осевые плоскости действия результирующих изгибающих моментов во всех поперечных сечениях с плоскостью чертежа.

Прежде чем строить указанные эпюры, необходимо составить расчетную схему вала, для чего все внешние силы, приложенные к насаженным на него элементам передач, должны быть перенесены на ось вала.

Описанная методика расчета валов соответствует их статическому нагружению и может быть использована для проектировочных расчетов. Валы реальных передач круговращательного движения находятся в условиях переменного циклического нагружения. Поэтому для валов, конструктивно оформленных по найденному из проектировочного расчета диаметру, должен быть выполнен проверочный расчет на усталостную прочность (выносливость). При проектировочном статическом расчете неучтенную цикличность нагружения косвенно учитывают понижением допускаемого напряжения [s].

В некоторых конструкциях валы, помимо скручивания и изгиба, растягиваются или сжимаются осевыми нормальными силами N. Влияние этих добавочных сил на прочность вала может быть учтено добавкой к наибольшим нормальным напряжениям от изгиба нормальных напряжений от растяжения-сжатия , где А — площадь поперечного сечения вала.

Ввести sp в условие прочности проектировочного расчета (5.1) не представляется возможным, sp учитывают только при проверочных расчетах.

Пример расчета

Для заданной схемы нагружения промежуточного вала коническо-цилиндрического редуктора (рис. 5.3) определить необходимый диаметр вала, пользуясь теорией максимальных касательных напряжений.

d1=200 мм; d2=100 мм; внешний крутящий момент, передаваемый валом Т=150 Hм; a=20º; δ=71,6º — углы между усилиями в зацеплениях; [s]=80 МПа.

Источник

ISopromat.ru

Эпюру σ будем строить для сечения балки в точке C, где величина изгибающего момента составляет 45 кНм. В этом месте сжимаются нижние слои балки (т.к. в рассматриваемом сечении знак изгибающего момента отрицательный).

Заданная схема балки с эпюрой изгибающих моментов Mx

В предыдущем пункте решения задачи для балки по условию прочности был выбран двутавр под номером 24а, для которого из соответствующего сортамента прокатной стали выпишем следующие данные:

  • Осевой момент инерции сечения: Ix=3800 см 4 ,
  • Высота сечения: h=240 мм,
  • Толщина полки (горизонтальной части двутавра): t=9,8 мм.

Нормальные напряжения σ в произвольной точке поперечного сечения балки рассчитываются по формуле

Формула расчета нормальных напряжений в сечениях балки

где
Mx – величина изгибающего момента в соответствующем сечении,
Ix – момент инерции сечения относительно оси x,
y – расстояние от оси x до рассматриваемой точки поперечного сечения балки.
Mx и Ix для всех точек сечения одинаковы, следовательно изменение величины нормальных напряжений зависит от положения точки сечения.

Читайте также:  Пиковое напряжение переменного тока

Переменная y имеет первую степень, т.е. зависимость линейная, поэтому для построения эпюры достаточно найти значения σ в двух точках.

Двутавровое сечение имеет пять характерных точек:
Крайняя верхняя и нижняя точки (1 и 5 соответственно), центральная точка (3) и точки 2 и 4, где стенка переходит в полку.

Характерные точки двутаврового сечения

На оси x координата y=0, следовательно, нормальные напряжения в точке 3 отсутствуют

Нормальные напряжения в центре сечения равны нулю

Наибольшая величина нормальных напряжений будет на максимальном удалении от центра сечения, в точках 1 и 5.

Напряжение в верхней точке сечения

В указанном сечении балки сжимаются нижние слои, следовательно, верхние растягиваются. Поэтому в верхней точке 1 напряжения положительны (растягивающие) соответственно в точке 5 напряжения отрицательны (сжимающие), т.е.:

Значение напряжений в нижней точке сечения

Так как сечение симметрично относительно оси x напряжения в т. 1 и 5 будут равны по величине, но противоположны по знаку.

Эпюра нормальных напряжений для двутавра

Отложив полученные значения, соединим их прямой линией.

Как видно, максимальные напряжения не превышают допустимых значений, что говорит о том, что выбранный номер двутавра обеспечивает необходимую прочность балки.

В дальнейшем, при проверке сечения на прочность, нам потребуются значения нормальных напряжений в точках 2 и 4. Рассчитаем их:

Источник



Нормальные напряжения и подбор поперечного сечения балки

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сече­ния балки при изгибе определяют по формуле

,

где М—изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сече­нии; у—координата рассматриваемой точки сечения до нейтраль­ной оси; J—момент инерции площади этого сечения относительно нейтральной оси.

Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напря­жения в данном поперечном сечении балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по фор­мулам

(3.4)

(3.5)

где y1 и у2—расстояния от нейтральной оси до наиболее удален­ных растянутого и сжатого волокон.

Для балок, материал которых одинаково сопротивляется рас­тяжению и сжатию, т. е. когда , необходимые раз­меры поперечного сечения балок при изгибе подбирают по нор­мальным напряжениям, развивающимся в точках, наиболее уда­ленных от нейтральной оси.

Расчетная формула на изгиб для подбора сечения в этом Слу­чае записывается в следующем виде:

(3.6 )

где момент сопротивления площади поперечного сечения балки относительно нейтральной оси; — расстояние до волокна, наиболее удаленного от нейтральной оси; Mmax —на­ибольший по абсолютному значению изгибающий момент, — допускаемое напряжение материала балки на изгиб.

Отклонение от равенства (3.6) не должно превышать ± 5 %. При подборе сечений прокатных балок допускаются и более зна­чительные отклонения в сторону увеличения запаса прочности.

Для балок из материалов, различно сопротивляющихся растя­жению и сжатию, расчетные формулы на изгиб для подбора сече­ния будут иметь вид

(3.7)

(3.8)

где и М2—наибольшие по абсолютному значению изгибающие моменты в опасных сечениях соответственно для растянутых и сжатых волокон; и —допускаемые напряжения для мате­риала балки соответственно на растяжение и сжатие. Формулы (3.7), (3.8) могут быть переписаны в виде

Читайте также:  Стабилизатор напряжения электрического тока

где осевые (экваториальные) моменты соп­ротивления поперечного сечения балки (или моменты сопротивле­ния поперечного сечения балки при изгибе) соответственно при вычислении напряжений в растянутом и сжатом волокнах.

Рациональное условие равной прочности материала балки в крайних волокнах опасного сечения требует, чтобы поперечное сечение балки из материала, одинаково сопротивляющегося растя­жению и сжатию, было симметричным относительно нейтральной оси, а поперечное сечение балки из материала, неодинаково сопро­тивляющегося растяжению и сжатию, было несимметричным отно­сительно нейтральной оси. При этом целесообразно стремиться к условию равной прочности для растянутых и сжатых волокон, т. е. к одновременному удовлетворению равенств (3.7) и (3.8). В этом случае будет соблюдаться следующая пропорция:

(3.9)

Наряду с условием прочности балка должна удовлетворять и условию экономичности. Так как прочность поперечного сечения балки при изгибе определяется значением его момента сопротивле­ния W, а вес балки пропорционален площади F ее поперечного сечения, то степень экономичности поперечного сечения балки можно оценивать отношением , называемым удельным моментом сопротивления. Чем больше это отношение при одинаковых площадях, тем экономичнее сечение.

Пример3.1. Дано:

Решение. Так как балка симметрична относительно среднего сечения, то максимальный изгибающий момент будет в этом сече­нии. От распределенной нагрузки эпюра М—параболическая с , от сосредоточенных сил эпюра М—трапецеидальная,

=Pc. Поэтому:

По расчетной формуле (3.6), необходимый момент сопротивле­ния сечения

м 3 =200см 3 .

1. Для круглого сечения d= 12,68 см;.

2. Для квадратного сечения W2 = а 3 /6 = 200 см 3 ; а = 10,63 см; F = 113 см 2 .

3. Для прямоугольного сечения W3 = bh 2 /6 = 200 см 3 ;h = 13,39 см; F = bh = 89,6 см 2 .

4. По сортаменту двутавровых балок для № 20 W=184 см 3 ; для № 20а. W -203 см 3 .

Проверяем балку № 20:

(перенапряжение).

Так как перенапряжение больше 5%, то двутавровую балку № 20 брать нельзя.

Проверяем балку № 20а

(недонапряжение).

Следовательно, принимаем балку № 20а, для которой jF4=28,9 cm 2 , момент инерции относительно нейтральной оси J = 2030 см 4 и вы­сота h = 20 см. Поскольку вес балки пропорционален площади ее поперечного сечения, отношение весов балок равно отношению площадей их сечений. Принимая площадь круглого сечения за условную единицу, имеем F1:F2:F3:F4= 1:0,89:0,71:0,23.

Таким образом, например, балка двутаврового сечения даже при избыточных размерах площади (допущено недонапряжение на 1,5%) приблизительно в 4,4 раза легче балки круглого попереч­ного сечения.

Определяем изгибающий момент в сечении балки под силой:

В точке А этого сечения, для которой y = h/4 = 5 см, нормаль­ное напряжение будет сжимающим (балка выгибается вниз) и оп­ределится по формуле (3.3):

Па= 64 МПа.

Источник