Меню

Определить напряжения во всех стержнях

Определение температурных напряжений

В статически неопределимых системах при изменении температуры возникают температурные напряжения (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Расчетная схема стержня при температурном воздействии

1. Составим уравнение равновесия: , ·

2. Отбросим правую заделку, составим уравнение совместности деформаций:

·

отсюда по абсолютной величине

,

где ;

– коэффициент линейного температурного расширения.

3. Согласно закону Гука имеем:

.

,

где А – площадь поперечного сечения стержня.

4. Определим температурные напряжения:

.

Полученная формула справедлива лишь для определения напряжений в стержнях постоянного сечения с жесткой заделкой обоих концов.

Из этой формулы следует, что в статически неопределимых системах изменение температуры вызывает дополнительные напряжения. Они будут сжимающими при повышении температуры и растягивающими при понижении температуры. В статически определимых системах температурные напряжения не возникают. Для снятия температурных напряжений в практике широко применяются температурные швы и зазоры.

Задача 7. Стержень АВ состоит из двух соединенных между собой частей. Верхняя часть АС (рис. 4.16) – медная, имеет площадь поперечного сечения А м = 25 см 2 , а нижняя СВ – стальная, имеет площадь поперечного сечения А ст = 12,5 см 2 . Между нижним концом стержня В и неподатливой опорой оставлен зазор Δ = 0,2 мм. Найти напряжения в обеих частях стержня при повышении температуры на Δ t = 60 ○ С и проверить его прочность, если [σ] м = 40 МПа, [σ] ст = 160 МПа.

Рис. 4.16. а – схема составного стержня;

б – отсеченная нижняя часть стержня

Определяем температурное удлинение составного стержня (рис. 4.16, а):

Так как Δ = 0,2 мм, то зазор между нижним концом стержня В и неподатливой опорой будет перекрыт и в опорах возникнут реакции.

2. Составим уравнение равновесия (рис. 4.16, а):

3. Составим уравнение совместности деформаций (рис. 4.16, а, б):

.

.

4. Согласно закону Гука определим для составного стержня:

Читайте также:  Стабилизатор напряжения green watt

см,

5. Определим значения нормальных напряжений в сечениях составного стержня:

; .

6. > ; Задача 8.Определить напряжения в стержнях жесткой невесомой балки (рис. 4.17, а) от температурного воздействия ∆t = 50 ºC на стержень 1.

Исходные данные: A 1 = 6 см 2 , А 2 = 10 см 2 , E 1 = E 2 = 2´10 4 , l 1 = = 1,2 м, l 2 = 1,5 м, а = 1 м, .

Рис. 4.17. а – схема балки, подвергаемой температурному воздействию; б – расчетная схема для определения температурных напряжений в стержнях 1 и 2

1. Определим деформацию стержня 1 от температурного воздействия:

.

2. Деформацию стержня 2 определим из выражения

, откуда см.

3. Определим нормальные усилия, возникающие в стержнях 1 и 2:

кН;

кН.

4. Определим напряжения, возникающие в стержнях 1 и 2:

; .

4.8. Задачи для самостоятельного решения

Задача 9.Для заданной схемы нагружения бруса (рис. 4.18) построить эпюру нормальных сил и напряжений.

Источник

Определить напряжения во всех стержнях

Предположим, что температура тела во время работы не изменяется. Тогда, полагая в соотношении получим

Учитывая равенства найдем общую формулу для нормальных напряжений в стержне при действии внешних силовых факторов;

где — жесткость при растяжении; жесткости при изгибе.

Для стержня с постоянным модулем упругости (основной расчетный случай)

где — площадь поперечного сечения;

— моменты инерции сечения относительно осей х и у соответственно.

Первый член в правой части равенства (18) выражает напряжения от растяжения или сжатия, два последующих члена — напряжения изгиба.

Замечания. 1. Формула (18) является одной из основных во всем сопротивления материалов. Она показывает, что для анализа напряжений за начало координат надо принять центр тяжести сечения и к этой точке сечения (точнее, к системе координат) привести внешние силы. Нормальное усилие, действующее в центре тяжести, вызывает напряжения растяжения или сжатия, одинаковые во всех точках сечения.

Читайте также:  Какие приборы измеряют переменным напряжением

Напряжения изгиба зависят от величины изгибающих моментов, геометрических характеристик сечения (моментов инерции) и координат точки.

2. Нормальные напряжения от внешних силовых факторов не зависят от абсолютной величины модуля упругости материала, а только от его распределения в точках сечения. Из равенства (17) следует, что при изменении модуля упругости во всех точках сечения одновременно в к раз напряжения остаются прежними.

Если модуль упругости одинаков во всех точках сечения (формула (18)), то напряжения в стержне не зависят от Е. В стальном или дюралевом стержне при одинаковых геометрических размерах и действующих нагрузках напряжения не различаются. Упругие перемещения стержней будут, разумеется, разными. Для закона распределения напряжений (формула (18)) решающим было предположение об упругости материала. Подобный результат имеет общее значение в задачах теории упругости.

3. Формулы (17) и (18) применимы и для стержней переменного сечения, когда упруго-геометрические характеристики сечения изменяются по длине стержня достаточно плавно.

Пример и некоторые дополнительные понятия.

Определим напряжения при изгибе стержня прямоугольного сечения под действием сосредоточенной силы Р (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Изгиб стержня прямоугольного сечения: а — стержень; б — поперечное сечение стержня

Рассмотрим сечение на расстоянии z от заделки. Начало координат поместим в центре тяжести сечения.

Изгибающий момент возрастает по мере удаления от точки приложения силы. Напряжения изгиба определим по формуле (18), считая модуль упругости материала стержня постоянным.

Учитывая, что осевое усилие N и изгибающий момент отсутствуют, получим

Остается определить момент инерции поперечного сечения:

Опасным будет сечение, в котором действует наибольшее напряжение. Если стержень призматический, то опасным будет сечение, где изгибающий момент наибольший. В рассматриваемом примере оно расположено в заделке стержня.

Как следует из равенства (20), напряжения изгиба распределяются линейно по высоте сечения. В точках сечения, лежащих на линии у = 0, напряжения изгиба отсутствуют. Линия, в точках которой напряжения изгиба отсутствуют, называется нейтральной линией сечения. В рассматриваемом примере нейтральной линией является ось х. По мере удаления от нейтральной линии напряжения изгиба возрастают. В опасном сечении (z = 0) точки с наибольшими напряжениями изгиба называются опасными точками. Максимальное напряжение изгиба будет при

Читайте также:  Все время ощущение напряжения

где М — действующий в рассматриваемом сечении изгибающий момент.

Величина — называется моментом сопротивления сечения изгибу. В точке ) напряжение изгиба будет таким же по величине, но противоположным по знаку:

Расчетные формулы (17) и (18) для нормальных напряжений в стержне по своей структуре достаточно просты, затруднения могут возникнуть при определении главных осей и упруго-геометрических характеристик сеченияг что будет разобрано в следующем разделе, а сейчас рассмотрим вкратце расчет температурных напряжений.

Источник



ISopromat.ru

Задача

Рассчитать величину напряжений в стержне заданной формы, нагруженном продольными силами и построить их эпюру.

Расчетная схема к задаче

Поперечное сечение стержня — квадрат со сторонами a =22мм.
Допустимые напряжения [ σ ]=160МПа

Пример решения

Предыдущие пункты решения задачи:

Формула расчета напряжений при растяжении-сжатии

т.е. напряжения определяются отношением соответствующей величины внутренней силы к площади поперечного сечения на рассматриваемом участке стержня.

Площади поперечного сечения стержня:

Расчет площадей поперечных сечений стержня

В пределах участка стержня, где внутренняя сила и площадь постоянны, напряжения тоже будут одинаковы, при этом положительные (растягивающие) внутренние силы в сечениях вызывают действие положительных напряжений, и наоборот.

Величину и знаки внутренних сил примем с построенной эпюры N.

Эпюра внутренних сил N

Расчет напряжений

Напряжения на I силовом участке (KM)

Напряжения на первом участке стержня

На II участке (CK)

Напряжения на II участке

На III участке (BC)

Напряжения на III участке

По этим данным строим эпюру нормальных напряжений σ .

Эпюра нормальных напряжений в стержне заданной формы

По эпюре видно, что все напряжения лежат в пределах допустимых значений, следовательно, поперечные размеры стержня были рассчитаны правильно и необходимая прочность обеспечена.

Источник