Меню

Найдите мощность множества многочленов

Мощность множества

date image2015-06-10
views image5700

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Одной из задач теории множеств является определение числа элементов множества и исследование вопроса о сравнении друг с другом двух множеств по количеству элементов.

Для конечных множеств самой разной природы эта задача легко решается непосредственным подсчетом. Для бесконечных – с помощью взаимно однозначного (биективного) отображения. Рассмотрим примеры построения такого отображения.

Задача 1. В качестве множества А рассмотрим интервал на числовой прямой, пусть А=(–1, 1), а в качестве множества В –множество действительных чисел R. Это множества одинаковой мощности, т.к отображение f(x) = tg(px/2), хÎА позволяет установить между ними искомое взаимно-однозначное соответствие.

Задача 2. Пусть А = [–1,1], В = (–1,1). Строим отображение f : A ® B по следующему правилу: выделим в А последовательность –1, 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n и положим f(–1)=1/2, f(1)=1/3, f(1/2)=1/4, f(1/3)=1/5, т.е. f(1/n) = 1/(n+2), а все точки, не входящие в эту последовательность отобразим сами в себя, т.е. f(x) = х. Следовательно, открытый и замкнутый интервалы эквивалентны.

Мощность – это то общее, что есть у любых двух эквивалентных множеств. Мощность множества A обозначается m(A) или |A|. Таким образом, m(A) = m(B), если A

Если множество A эквивалентно какому-либо подмножеству множества B, то мощность A не больше мощности B (т.е. m(A)£m(B)). Если при этом множество B не эквивалентно никакому подмножеству множества A, то m(A)

Задача 5. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно.

Решение. Разобьем прямую на счетное множество отрезков точками 0, ±1, ±2, ±3, . . . Каждый отрезок содержит не более одной точки данного множества, следовательно, между точками множества E и некоторым подмножеством построенного множества отрезков существует взаимно однозначное соответствие. Значит, множество E не более чем счетно.

Задача6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на [a, b], не более, чем счетно.

Решение. Каждая точка разрыва монотонной функции f(x) является точкой разрыва первого рода. Действительно, так как функция f(x) монотонна и ограничена на отрезке, то она имеет конечные пределы при x®x±0, где x – произвольная точка разрыва функции f(x).

Назовем скачком функции в точке x разность f(x+0) –f(x–0) этих пределов. Пусть функция f(x) возрастает. Легко проверить, что множество точек разрыва, в которых скачок больше a (где a – произвольное положительное число), конечно, а число этих точек не больше, чем (f(b) – f(a)) /a.

Обозначим через Ek множество точек разрыва со скачком, большим, чем 1/ k. Множество E всех точек разрыва равно объединению всех Ek: E = E1 È E2 È E3 È . . . È Ek È . . .

Так как все Ek конечны, то E не более чем счетно.

Для монотонно убывающей на [a, b] функции доказательство аналогично.

Задача 7. Доказать, что множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

Решение. Рассмотрим множество Q всех рациональных точек отрезка [a,b], занумерованных произвольным образом, т.е. Q= =1, r2. >. Поставим в соответствие каждой непрерывной на [a,b] функции f последовательность действительных чисел f(r1), f(r2). Так как непрерывная функция на [a,b] полностью определяется своими значениями в точках множества Q, то тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных функций на [a,b] и частью множества всех последовательностей действительных чисел. Значит, в силу результатов задач 11-13 п. 4, мощность множества всех непрерывных функций на [a,b] не больше мощности континуума. С другой стороны, она не может быть меньше мощности континуума, так как все функции, постоянные на [a,b], уже образуют множество мощности континуума. Для завершения доказательcтва остается применить теорему Кантора-Бернштейна (см. п.4).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Найти взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на отрезок [a, b].

2. Отобразить взаимно однозначно луч [0, +¥) на всю числовую прямую.

3. Построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок [0, 1].

4. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом E=<(x, y) | x 2 +y 2 2 +y 2 £ 1>.

5. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.

6. Установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и прямой.

7. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой с одной выколотой точкой и плоскостью.

8. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой и плоскостью.

9. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и множеством всех натуральных чисел.

10. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и множеством натуральных чисел.

11. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел и множеством всех последовательностей натуральных чисел.

12. Установить взаимно однозначное соответствие между

множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел и множеством всех бесконечных двоичных дробей, которые соответствуют числам интервала (0, 1].

13. Верно ли утверждение: «Если A

D, причем A É B, C É D, то A \ B

14. Пусть A É C, B É D, C È D

C. Доказать, что A È D

15. Верно ли утверждение: «Если A

B, C É A, C É B, то C \ A

16. Верно ли утверждение: «Если A

B, A É C, B É C, то A \ C

17. Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

18. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы и координаты центра которых – рациональные числа, счетно.

19. Какова мощность множества всех многочленов, коэф-фициентами которых служат корни многочленов с целыми коэф-

фициентами (алгебраические числа).

20. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

21. Пусть E – какое-либо несчетное множество положительных чисел. Доказать, что найдется такое число t > 0, что множество E Ç(–t, +¥) несчетно.

Читайте также:  Тепловой двигатель мощностью n работает по циклу

22. Доказать, что множество всех стационарных последовательностей натуральных чисел счетно. Последовательность называется стационарной, если она состоит из одинаковых элементов.

23. Определить мощности следующих множеств:

а) множество всех треугольников на плоскости, координаты вершин которых выражаются рациональными числами;

б) множество корней многочленов с целыми коэффициентами;

в) множество вещественных чисел от 0 до 1, в десятичном представлении которых 7 стоит на 3-м месте (т.е. числа вида 0.ab7cd. ).

24. На числовой прямой задано неограниченное счетное множество Е. Доказать, что всегда существует вещественное число z, что сдвинув множество Е на z вправо, получим новое множество Е1, которое будет иметь пустое пересечение с Е.

25. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке [a, b] и разрывных хотя бы в одной точке этого отрезка?

26. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b]?

27. Какова мощность множества всех монотонных функций на отрезке [a, b]?

28. Показать, что множество всех перестановок натурального ряда N имеет мощность континуума.

29. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

30. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?

Источник

Мощность множества: примеры. Мощность объединения множеств

Достаточно часто в математической науке возникает ряд трудностей и вопросов, причем многие ответы не всегда проясняются. Не исключением стала такая тема, как мощность множеств. По сути, это не что иное как численное выражение количества объектов. В общем смысле множество является аксиомой, у него нет определения. В основе лежат любые объекты, а точнее их набор, который может носить пустой, конечный или бесконечный характер. Кроме этого, он содержит числа целые или натуральные, матрицы, последовательности, отрезки и прямые.

О существующих переменных

Нулевой или пустой набор, не имеющий собственного значения, считается элементом мощности, так как это подмножество. Сбор всех подмножеств непустого множества S является множеством множеств. Таким образом, набор мощности заданного множества считается многим, мыслимым, но единым. Это множество называется множеством степеней S и обозначается P (S). Если S содержит N элементов, то P (S) содержит 2 ^ n подмножеств, так как подмножество P (S) является либо ∅, либо подмножеством, содержащим r элементов из S, r = 1, 2, 3, . Составленное из всего бесконечного множества M называется степенным количеством и символически обозначается P (M).

Элементы теории множеств

Эта область знаний была разработана Джорджем Кантором (1845-1918 годы жизни). Сегодня она используется почти во всех отраслях математики и служит ее фундаментальной частью. В теории множеств элементы представлены в форме списка и заданы типами (пустой набор, одноэлементный, конечные и бесконечные множества, равные и эквивалентные, универсальные), объединение, пересечение, разность и дополнение чисел. В повседневной жизни часто говорится о коллекции таких объектов, как куча ключей, стая птиц, пачка карточек и т. д. В математике 5 класса и не только, встречаются натуральные, целые, простые и составные числа.

Можно рассмотреть следующие множества:

  • натуральные числа;
  • буквы алфавита;
  • первичные коэффициенты;
  • треугольники с разными значениями сторон.

Видно, что эти указанные примеры представляют собой четко определенные множества объектов. Рассмотрим еще несколько примеров:

  • пять самых известных ученых мира;
  • семь красивых девушек в обществе;
  • три лучших хирурга.

Эти примеры мощности множества не являются четко определенными коллекциями объектов, потому, что критерий «наиболее известных», «самых красивых», «лучших» варьируется от человека к человеку.

Наборы

Это значение представляет собой четко определенное количество различных объектов. Предположив, что:

  • набор слов является синонимом, агрегатом, классом и содержит элементы;
  • объекты, члены являются равными по значению терминами;
  • наборы обычно обозначаются прописными буквами A, B, C;
  • элементы набора представлены маленькими буквами a, b, c.

Если «a» — элемент множества A, то говорится, что «a» принадлежит A. Обозначим фразу «принадлежит» греческим символом «∈» (epsilon). Таким образом, выходит, что a ∈ A. Если ‘b’ — элемент, который не принадлежит A, это представляется как b ∉ A. Некоторые важные наборы, используемые в математике 5 класса, представляют, используя три следующих метода:

  • заявки;
  • реестров или табличные;
  • правило создания построения.

При детальном рассмотрении форма заявления основана на следующем. В этом случае задано четкое описание элементов множества. Все они заключены в фигурные скобки. Например:

  • множество нечетных чисел, меньших 7 — записывается как <меньше 7>;
  • набор чисел больше 30 и меньше 55;
  • количество учеников класса, вес которых больше, чем учителя.

В форме реестра (табличной) элементы набора перечислены в паре скобок <> и разделены запятыми. Например:

  1. Пусть N обозначает множество первых пяти натуральных чисел. Следовательно, N = → форма реестра
  2. Набор всех гласных английского алфавита. Следовательно, V = → форма реестра
  3. Множество всех нечетных чисел меньше 9. Следовательно, X = <1, 3, 5, 7>→ форма реестра
  4. Набор всех букв в слове «Математика». Следовательно, Z = → Форма реестра
  5. W — это набор последних четырех месяцев года. Следовательно, W = <сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь>→ реестр.

Стоит отметить, что порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, но они не должны повторяться. Установленная форма построения, в заданном случае правило, формула или оператор записываются в пару скобок, чтобы набор был корректно определен. В форме set builder все элементы должны обладать одним свойством, чтобы стать членом рассматриваемого значения.

В этой форме представления набора элемент множества описывается с помощью символа «x» или любой другой переменной, за которой следует двоеточие («:» или «|» используется для обозначения). Например, пусть P — множество счетных чисел, большее 12. P в форме set-builder написано, как — <счетное число и больше 12>. Это будет читаться определенным образом. То есть, «P – множество элементов x, такое, что x является счетным числом и больше 12».

Решенный пример с использованием трех методов представления набора: количество целых чисел, лежащих между -2 и 3. Ниже приведены примеры различных типов наборов:

  1. Пустой или нулевой набор, который не содержит какого-либо элемента и обозначается символом ∅ и считывается как phi. В форме списка ∅ имеет написание <>. Пустым является конечное множество, так как число элементов 0. Например, набор целых значений меньше 0.
  2. Очевидно, что их не должно быть

Конечное множество

Множество, содержащее определенное число элементов, называется конечным либо бесконечным множеством. Пустое относится к первому. Например, набор всех цветов в радуге.

Бесконечное количество – это набор. Элементы в нем не могут быть перечислены. То есть, содержащий подобные переменные, называется бесконечным множеством. Примеры:

  • мощность множества всех точек в плоскости;
  • набор всех простых чисел.

Но стоит понимать, что все мощности объединения множества не могут быть выражены в форме списка. К примеру, вещественные числа, так как их элементы не соответствуют какой-либо конкретной схеме.

Кардинальный номер набора – это число различных элементов в заданном количестве A. Оно обозначается n (A).

Эквивалентные наборы для сравнения множеств

Две мощности множества A и B являются таковыми, если их кардинальное число одинаково. Символом для обозначения эквивалентного набора является «↔». Например: A ↔ B.

Равные наборы: две мощности множества A и B, если они содержат одни и те же элементы. Каждый коэффициент из A является переменной из B, и каждый из B является указанным значением A. Следовательно, A = B. Различные типы объединения множеств в мощности и их определения объясняются с помощью указанных примеров.

Сущность конечности и бесконечности

Каковы различия между мощностью конечного множества и бесконечного?

Для первого значения характерно следующее название, если оно либо пустое, либо имеет конечное число элементов. В конечном множестве переменная может быть указана, если она имеет ограниченный счет. Например, с помощью натурального числа 1, 2, 3. И процесс листинга заканчивается на некотором N. Число различных элементов, отсчитываемых в конечном множестве S, обозначается через n (S). А также называется порядком или кардинальным. Символически обозначается по стандартному принципу. Таким образом, если множество S является русским алфавитом, то оно содержит в себе 33 элемента. Также важно запомнить, что элемент не встречается более одного раза в наборе.

Бесконечное количество в множестве

Множество называется бесконечным, если элементы не могут быть перечислены. Если оно имеет неограниченное (то есть несчетное) натуральное число 1, 2, 3, 4 для любого n. Множество, которое не является конечным, называется бесконечным. Теперь можно обсудить примеры рассматриваемых числовых значений. Варианты конечного значения:

  1. Пусть Q = <натуральные числа меньше 25>. Тогда Q — конечное множество и n (P) = 24.
  2. Пусть R = <целые числа между 5 и 45>. Тогда R — конечное множество и n (R) = 38.
  3. Пусть S = <числа, модуль которых равен 9>. Тогда S = <-9, 9>является конечным множеством и n (S) = 2.
  4. Набор всех людей.
  5. Количество всех птиц.

Примеры бесконечного множества:

  • количество существующих точек на плоскости;
  • число всех пунктов в сегменте линии;
  • множество положительных целых чисел, кратных 3, является бесконечным;
  • все целые и натуральные числа.

Таким образом, из приведенных выше рассуждений понятно, как различать конечные и бесконечные множества.

Мощность множества континуум

Если провести сравнение множества и других существующих значений, то к множеству присоединено дополнение. Если ξ – универсальное, а A – подмножество ξ, то дополнение к A является количеством всех элементов ξ, которые не являются элементами A. Символически обозначается дополнение A относительно ξ как A’. К примеру, 2, 4, 5, 6 являются единственными элементами ξ, которые не принадлежат A. Следовательно, A’=

Множество с мощностью континуум имеет следующие особенности:

  • дополнением универсального количества является пустое рассматриваемое значение;
  • эта переменная нулевого множества является универсальным;
  • количество и его дополнение являются непересекающимися.
  1. Пусть количество натуральных чисел является универсальным множеством и А – четное. То, тогда A ‘.
  2. Пусть ξ = множество букв в алфавите. A = набор согласных. Тогда A ‘= количество гласных.
  3. Дополнением к универсальному множеству является пустое количество. Можно обозначить через ξ. Тогда ξ ‘= Множество тех элементов, которые не входят в ξ. Пишется и обозначается пустое множество φ. Поэтому ξ = φ. Таким образом, дополнение к универсальному множеству является пустым.

В математике «континуум» иногда используется для обозначения реальной линии. И в более общем плане, для описания подобных объектов:

  • континуум (в теории множеств) — вещественная линия или соответствующее кардинальное число;
  • линейный — любое упорядоченное множество, которое разделяет определенные свойства реальной прямой;
  • континуум (в топологии) — непустое компактное связное метрическое пространство (иногда хаусдорфово);
  • гипотеза о том, что никакие бесконечные множества больше целых чисел, но меньшие, чем действительные числа;
  • мощность континуума — кардинальное число, представляющее размер множества действительных чисел.

По существу дела, континуум (измерение), теории или модели, которые объясняют постепенные переходы из одного состояния в другое без каких-либо резких изменений.

Проблемы объединения и пересечения

Известно, что пересечение двух или более множеств – это количество, содержащее все элементы, которые являются общими в этих значениях. Задачи Word на множествах решаются, чтобы получить основные идеи о том, как использовать свойства объединения и пересечения множеств. Решенные основные проблемы слов на множествах выглядят так:

  1. Пусть A и B – два конечных множества. Они представляют собой такие, что n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, находится n (A ∩ B).

Связь в наборах с использованием диаграммы Венна:

  1. Объединение двух множеств может быть представлено заштрихованной областью, представляющей A ∪ B. A ∪ B, когда A и B – непересекающиеся множества.
  2. Пересечение двух множеств может быть представлено диаграммой Венна. С затененной областью, представляющей A ∩ B.
  3. Разность двух наборов может быть представлена диаграммами Венна. С заштрихованной областью, представляющей A — B.
  4. Связь между тремя наборами, использующими диаграмму Венна. Если ξ представляет универсальное количество, то A, B, C – три подмножества. Здесь все три набора являются перекрывающимися.

Обобщение информации о множестве

Мощность множества определяется как общее количество отдельных элементов в наборе. А последнее указанное значение описывается как количество всех подмножеств. При изучении подобных вопросов требуются методы, способы и варианты решения. Итак, у мощности множества примерами могут служить следующие:

Пусть A = <0,1,2,3>| | = 4, где | A | представляет мощность множества A.

Теперь можно найти свой набор мощности. Это тоже довольно просто. Как уже сказано, набор мощности установлен из всех подмножеств заданного количества. Поэтому нужно в основном определить все переменные, элементы и другие значения A, которые <>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, < 2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>.

Теперь мощность выясняет P = <<>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, <2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>>, который имеет 16 элементов. Таким образом, мощность множества A = 16. Очевидно, что это утомительный и громоздкий метод решения этой проблемы. Однако есть простая формула, по которой, непосредственно, можно знать количество элементов в множестве мощности заданного количества. | P | = 2 ^ N, где N — число элементов в некотором A. Эта формула может быть получена применением простой комбинаторики. Таким образом, вопрос равен 2 ^ 11, поскольку число элементов в множестве A равно 11.

Итак, множеством является любое численно выраженное количество, которое может быть всевозможным объектом. К примеру, машины, люди, числа. В математическом значении это понятие шире и более обобщенное. Если на начальных этапах разбираются числа и варианты их решения, то в средних и высших стадиях условия и задачи усложнены. По сути, мощность объединения множества определена принадлежностью объекта к какой-либо группе. То есть один элемент принадлежит к классу, но имеет одну или несколько переменных.

Источник



Множество всех многочленов

Р(х) = а 0 + а 1х + а 2x 2 + . + а nх n любых степеней с рациональными коэффициентами а 0 , а 1, + а 2. а n счетно.

Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.

Объектами, над которыми в реляционной (лат. relation — связь, отношение) алгебре выполняются операции, являются и n-арные отношения. Так как отношения — это множества, то над ними можно выполнять теоретико-множественные операции, такие как объединение, пересечение, разность, симметрическая разность и дополнение. Проиллюстрируем это примером.

Пусть даны бинарные отношения:

являющиеся подмножествами множества АxА=А 2 , где А- <1,2,3,4>.

Объединение множеств Р и Q образуют все пары, входящие в эти множества: P Q = <(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3)>.

Пересечение множеств Р и Q — это множество, элементы которого входят одновременно в оба множества:

Разность множеств P\Q имеет вид:

Симметрическая разность множеств :

Для нахождения дополнений множеств Р и Q сначала необходимо определить универсальное множество I. Так как | A| = 16, то универсальное множество I содержит 16 элементов:

В реляционной алгебре кроме теоретико-множественных используются и другие операции. Рассмотрим некоторые их них:

а) обмен позициями. Пусть n-арное отношение представлено множеством F кортежей длины п. Пронумеруем все элементы, входящие в кортеж. Суть операции обмена позициями, обозначаемой (i j) F, заключается в том, что знаки, стоящие в одном и том же кортеже на местах i и j, меняются местами (i,j=1,2. n; i=j ). Эта операция выполняется над всеми кортежами множества F.

Рассмотрим отношение вида:

являющееся подмножеством множества А 5 , где А = <0, 1>. В множестве F три кортежа. Применим к ним операцию обмена позициями, приняв i = 3,j = 5. Тогда получим новое отношение

5)F= <(0,0,1,1,1), (0,1,0,1,0), (1,1,1,0, 0)>, не совпадающее с F. Очевидно, что если к множеству (3 ↔ 5) F снова применить ту же операцию при i = 3, j ≠ 5, то получим множество F;

б) расширение отношения. Эта операция имеет обозначение V a F, где F -множество кортежей длины я, a — некоторый элемент, записываемый слева в каждый кортеж множества F. В результате получится новое множество с тем же числом кортежей, но длина каждого кортежа равна n + 1.

Пусть F= <. Возьмем в качестве элемента а цифру 6. Тогда получим множество R:

Если операцию расширения отношения применить к двум множествам F и Т, используя в качестве элемента а эти же символы F и T, а затем выполнитьоперацию объединения двух получившихся множеств, то получим новое отношение Q, представляющее собой композицию отношений F и Т:

в) исключение позиции. Обозначение этой операции имеет вид (i,j. k ) F, где i,j. k — номера позиций кортежа, из которых удаляются элементы. Эту операцию применяют ко всем кортежам множества F. В результате длина каждого кортежа уменьшится и могут появиться повторы одних и тех же укороченных кортежей. Все повторы необходимо удалить. Тогда останется множество, являющееся результатом операции исключения позиции.

Исключив 2-й и 4-й элементы в каждом кортеже множества F= <(а, b , b, с, d), (а, а, b, с, d), (а, с, с, с, d)>, получим новое множество М:

г) удвоение позиции. Пусть F— множество кортежей длины n. Выберем J-ю позицию какого-либо кортежа и повторно запишем находящийся в этой позиции элемент в заранее указанное место в том же кортеже. Тем самым мы выполним операцию удвоения позиции. Условное обозначение этой операции имеет вид D j F. Выполняется она для каждого кортежа множества F.

Рассмотрим отношение вида:

Допустим, что j-й элемент повторно записывается в каждый кортеж справа. Пусть j = 2, тогда

Рассмотренных операций достаточно для того, чтобы получить представление о том, что является объектом изучения в реляционной алгебре. С другими операциями этой алгебры можно ознакомиться, обратившись к специальной литературе. Например, в некоторых источниках рассмотрена операция конкатенации (расширенного декартова произведения двух отношений).

Источник