Меню

Мощность фактор множества по отношению принадлежности

Множества. Отношение принадлежности. Универсум и пустое множество. Мощность множества. Отношение включения. Подмножество, надмножество, собственное подмножество. Булеан множества. Парадокс Рассела

Операции над множествами. Диаграммы Эйлера. Покрытия и разбиения.

Объединением (дизъюнкцией, суммой) множеств A и B называется множество

Пересечением (конъюнкцией) множеств A и B называется множество

Разностью множеств A и B называется множество

Разность U \ A называется дополнением множества A и обозначается через –A.

Симметрической разностью множеств A и B называется множество

A % B = (A \ B)È (B \ A) Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Вэйна.

Разбиения и покрытия множеств

Если множество A представляет собой объединение подмножеств А1, А2, …, Аn, …, то совокупность <А1, А2, …, Аn, …>подмножеств называется покрытием множества A.

Если же совокупность подмножеств покрытия множества A такова, что Ai Ç Aj = Æ при i¹ j, то совокупность <А1, А2, …, Аn, …>называется разбиением множества A, а подмножества Ai — классами этого разбиения.

Основные тождества алгебры множеств. Формула включений и исключений.

Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.

R* называется замыканием отношения R относительно свойства P, если

· R* обладает свойством P;

· R Í R*;

· R* является подмножеством любого другого отношения, содержащего R и обладающего свойством P.

Пусть R — некоторое бинарное отношение на множестве A :

· Рефлексивным замыканием RD отношения R называется отношение R È DA.

· Симметричным замыканием RS отношения R называется отношение R È R#.

· Транзитивным замыканием Rt отношения R называется отношение.

Rt = R È R2 È R3 È… È Rn È…

Если некоторое отношение включает свое симметричное, рефлексивное и транзитивное замыкания, то оно является отношением эквивалентности и наоборот.

Свойства бинарных операций

· Дистрибутивность слева и справа

· Существование нейтрального элемента

· Существование обратного элемента

Таблица Кэли – матрица |ai,aj|, где ( ) – результат операции i элемента на j-ый. Группоид, обозначаемый символом (A, ©) — множество A, на котором задана некоторая бинарная операция, обозначаемая ©. Если множество группоида конечно, ½A½ = n, то таблица операции группоида есть таблица n ´ n, в которой элемент x © y Î A находится в клетке пересечения строки x и столбца y. Группоид можно считать заданным, если выписана его таблица операции.

Свойства бинарных операций

· Ассоциативность ( (a ° b) ° c = a ° (b ° c) )

· Коммутативность (a · b = b · a)

· Дистрибутивность слева и справа

· Существование нейтрального элемента (a ° e = e ° a = a)

· Разрешимость уравнений (a · x = b, y · a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества)

· Существование обратного элемента a ° a^ –1= a^ –1° a = e

Группа симметрий фигуры.

Группа симметрий фигуры на плоскости (поворот, отражение вдоль некоторой оси и т.п.)

Группу симметрий фигуры образует множество G различных движений плоскости, самосовмещающих данную фигуру. Чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Таблица Кэли: композиции движения. Свойства операций: Существование нейтрального элемента; Если есть латинский квадрат (в каждом столбце и каждой строке таблицы встречается каждый из элементов множества), то существует разрешимость уравнений; Ассоциативность.

Группа подстановок.

Отображается множество на себя.

P P1 P2 P3 P4 P5
P P P1 P2 P3 P4 P5
P1 P1 P2 P P4
P2 P2 P P1
P3 P3 P
P4 P4 P
P5 P5 P

Граф. Вершина, ребро, дуга. Неориентированный граф, ориентированный граф (орграф). Кратные ребра (дуги). Петли. Смежные вершины, смежные дуги. Степень вершины. Инцидентные ребро и вершина, дуга и вершина.

Граф — множество V вершин и набор E неупорядоченных и упорядоченных пар вершин; обычно граф обозначают как G(V, E). Неупорядоченная пара вершин называется ребром, упорядоченная пара — дугой. Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным; граф, содержащий только дуги — ориентированным (или орграфом). Пара вершин может быть соединена двумя или более ребрами (или, соответственно, дугами одного направления), такие ребра (или дуги) называются кратными. Дуга (или ребро) может начинаться и заканчиваться в одной и той же вершине. В этом случае соотв. дуга (или ребро) называется петлей. Вершины, соединенные ребром или дугой, называются смежными. Ребра, имеющие общую вершину, тоже называются смежными. Степень вершины – количество рёбер, выходящих из вершины. Ребро (или дуга) и любая из его вершин называются инцидентными. Принято говорить, что ребро (u, v) соединяет вершины u и v, а дуга (u, v) начинается в вершине u и кончается в вершине v.

Графический

Изоморфные графы

Два графа называются изоморфными, если существует перестановка вершин, при которой они совпадают. Иначе говоря, два графа называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие между их вершинами и рёбрами, которое сохраняет смежность и инцидентность (графы отличаются только названиями своих вершин).

Остовной граф

Остовом (неориентированного) связного графа G=(V,E) называется его частичный граф, являющийся деревом.

Остовной граф – когда количество вершин остовного дерева соответствует количеству вершин исходного графа.

· Построение остовного дерева: Выбираем произвольное ребро и последовательно добавляем другие ребра, не создавая при этом циклов, до тех пор, пока нельзя будет добавить никакого ребра, не получив при этом цикла.

· Всего n —1ребро.

Числом вершинной связности (или просто числом связности) χ(G) графа G называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит граф G к несвязному или одновершинному графу.

Числом реберной связности λ(G) графа G называется наименьшее число ребер, удаление которых приводит к несвязному графу.

Остовной граф

Остовом (неориентированного) связного графа G=(V,E) называется его частичный граф, являющийся деревом.

Остовной граф – когда количество вершин остовного дерева соответствует количеству вершин исходного графа.

Построение остовного дерева: Выбираем произвольное ребро и последовательно добавляем другие ребра, не создавая при этом циклов, до тех пор, пока нельзя будет добавить никакого ребра, не получив при этом цикла.

· Всего n —1ребро.

Алгоритмы Краскала и Прима – алгоритмы построения минимального остовного дерева (поиск кратчайшего соединения).

Читайте также:  Мощность от силы тока три фазы

Алгоритм Краскала: Пусть есть связный граф, содержащий n вершин. Шаг1: ребра графа упорядочим в порядке их неубывания веса. Шаг2: начиная с 1го: самый маленький вес, добавляем новое ребро с условием: не должно приводить к циклу. Шаг3: повторяем Шаг2 пока число ребер в графе не станет равно n-1. Получившееся дерево является минимальным остовным деревом графа G. Алгоритм долгий, потому что должны выполнятся сортировки. При m ребрах это m*log2m операций.

Алгоритм Прима: Шаг1: без упорядочивания выбираем произвольную вершину и ребро, соединяем ее с близкими по весу соседом. Шаг2: найти еще (не присоединенную) вершину, лежащую ближе всего к одному из присоединенных и соединить с ней. Шаг3: повторяем шаг2 пока все вершины не будут присоединены. n(n-1)/2 – количество решений, где n – количество вершин.

Begin

for v Î V doD [v]:= A[s, v]; D [s]:= 0;

for k := 1 ton – 2do

for v Î V \ <s> do

for u Î V doD [v]:=min(D[v], D[u] + A [u, v])

End

Очевидно, что временная сложность алгоритма есть O(n 3 ). Мы можем, конечно, закончить вычисления, когда выполнение цикла 4 не вызывает изменения ни одной из переменных D[v], v Î V. Это может наступить для k 2 ) удобнее представлять граф списками инцидентности ПРЕДШ[v], v Î V. Заменяя строку 5 на

for u Î ПРЕДШ[v]doD [v]:=min(D[v], D[u] + A [u, v]), получаем алгоритм со сложностью O(nm).

Пути в бесконтурном графе

Случай, для которого известен алгоритм нахождения расстояний от фиксированной вершины за время O(n 2 ) — случай, когда граф является бесконтурным (нет замкнуых путей)(веса дуг могут быть произвольными).

Лемма. В произвольном бесконтурном графе вершины можно перенумеровать так, что каждая дуга будет иметь вид ávi, vjñ, где i

Источник

Мощность множества

Теория множеств заняла свое подобающее место в основаниях математики после того, как Г. Кантором были получены существенные результаты в теории безконечных множеств. Так что можно сказать, что теория множеств – это наука в основном о безконечных множествах.

Первый вопрос, который возникает при изучении безконечных множеств – вопрос о количественной характеристике «безконечности». Т.е., различаются ли между собой безконечные множества и если да, то каким образом это различие можно характеризовать? Точный смысл этим словам придал Кантор. Он показал, что каждому множеству соответствует некоторая характеристика, называемая мощностью, или кардинальным числом множества.

Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого.

Покажем, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности.

1. Существует биекция А в А (id A) – тождественное преобразование – рефлексивность.

2. Если f – биекция, то f —1 – тоже биекция – симметричность.

3. Если существует биекция f: A # B и существует биекция g: B# C, то существует биекция A# C – например, композиция f◦g двух биекций – транзитивность.

Следовательно, по свойству отношения эквивалентности, отношение разбивает все(!) множества на классы эквивалентности. Фактор–множество всех множеств по этому отношению «есть то общее, что присуще всем множествам данного класса» и есть мощность, или кардинальное число множества.

Так, для конечных множеств отношение равномощности означает, что в них одинаковое число элементов, но определение имеет смысл и для безконечных множеств. Например, интервалы (0,1) и (0,2) равномощны, поскольку отображение х a 2х осуществляет искомое соответствие.

Далее можно выбрать из каждого класса равномощных множеств по представителю – некоторому «стандартному» множеству и затем сравнивать произвольные множества с этими стандартными, устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. Получится некоторая своеобразная «линейка» для сравнения множеств.

Но здесь есть по крайней мере две тонкости: во-первых, необходим полный, без «дырок», набор «стандартных» множеств – хорошая линейка, во-вторых, ею надо уметь пользоваться – как мы увидим, взаимно однозначное соответствие между бесконечными множествами не слишком согласуется с обычными представлениями и числе элементов в конечных множествах.

Перейдём к изучению множеств, состоящих из безконечного числа элементов.

Первым делом заметим, что в аксиоматике Цермело-Френкеля есть аксиома о существовании хотя бы одного бесконечного множества – множества натуральных чисел. С него мы и начнем. Этому множеству (точнее, его классу эквивалентности) присвоено наименование – счетное множество и обозначение мощности – א 0. И сразу мы встречаемся с парадоксом, о котором упоминалось ранее как об умении пользоваться линейкой. «Парадокс» заключается в том, что множество натуральных чисел и множество, скажем, чётных чисел биективно отображаются друг на друга, т.е. имеют одинаковую мощность, и в то же время одно множество является подмножеством другого. Для конечных множеств это нонсенс – биекция невозможна между множеством и его собственным подмножеством. Но для бесконечных множеств, как мы установим впоследствии – это непременный факт.

Источник



Мощность множества: примеры. Мощность объединения множеств

Достаточно часто в математической науке возникает ряд трудностей и вопросов, причем многие ответы не всегда проясняются. Не исключением стала такая тема, как мощность множеств. По сути, это не что иное как численное выражение количества объектов. В общем смысле множество является аксиомой, у него нет определения. В основе лежат любые объекты, а точнее их набор, который может носить пустой, конечный или бесконечный характер. Кроме этого, он содержит числа целые или натуральные, матрицы, последовательности, отрезки и прямые.

О существующих переменных

Нулевой или пустой набор, не имеющий собственного значения, считается элементом мощности, так как это подмножество. Сбор всех подмножеств непустого множества S является множеством множеств. Таким образом, набор мощности заданного множества считается многим, мыслимым, но единым. Это множество называется множеством степеней S и обозначается P (S). Если S содержит N элементов, то P (S) содержит 2 ^ n подмножеств, так как подмножество P (S) является либо ∅, либо подмножеством, содержащим r элементов из S, r = 1, 2, 3, . Составленное из всего бесконечного множества M называется степенным количеством и символически обозначается P (M).

Читайте также:  Пусковая мощность горелки если

Элементы теории множеств

Эта область знаний была разработана Джорджем Кантором (1845-1918 годы жизни). Сегодня она используется почти во всех отраслях математики и служит ее фундаментальной частью. В теории множеств элементы представлены в форме списка и заданы типами (пустой набор, одноэлементный, конечные и бесконечные множества, равные и эквивалентные, универсальные), объединение, пересечение, разность и дополнение чисел. В повседневной жизни часто говорится о коллекции таких объектов, как куча ключей, стая птиц, пачка карточек и т. д. В математике 5 класса и не только, встречаются натуральные, целые, простые и составные числа.

Можно рассмотреть следующие множества:

  • натуральные числа;
  • буквы алфавита;
  • первичные коэффициенты;
  • треугольники с разными значениями сторон.

Видно, что эти указанные примеры представляют собой четко определенные множества объектов. Рассмотрим еще несколько примеров:

  • пять самых известных ученых мира;
  • семь красивых девушек в обществе;
  • три лучших хирурга.

Эти примеры мощности множества не являются четко определенными коллекциями объектов, потому, что критерий «наиболее известных», «самых красивых», «лучших» варьируется от человека к человеку.

Наборы

Это значение представляет собой четко определенное количество различных объектов. Предположив, что:

  • набор слов является синонимом, агрегатом, классом и содержит элементы;
  • объекты, члены являются равными по значению терминами;
  • наборы обычно обозначаются прописными буквами A, B, C;
  • элементы набора представлены маленькими буквами a, b, c.

Если «a» — элемент множества A, то говорится, что «a» принадлежит A. Обозначим фразу «принадлежит» греческим символом «∈» (epsilon). Таким образом, выходит, что a ∈ A. Если ‘b’ — элемент, который не принадлежит A, это представляется как b ∉ A. Некоторые важные наборы, используемые в математике 5 класса, представляют, используя три следующих метода:

  • заявки;
  • реестров или табличные;
  • правило создания построения.

При детальном рассмотрении форма заявления основана на следующем. В этом случае задано четкое описание элементов множества. Все они заключены в фигурные скобки. Например:

  • множество нечетных чисел, меньших 7 — записывается как <меньше 7>;
  • набор чисел больше 30 и меньше 55;
  • количество учеников класса, вес которых больше, чем учителя.

В форме реестра (табличной) элементы набора перечислены в паре скобок <> и разделены запятыми. Например:

  1. Пусть N обозначает множество первых пяти натуральных чисел. Следовательно, N = → форма реестра
  2. Набор всех гласных английского алфавита. Следовательно, V = → форма реестра
  3. Множество всех нечетных чисел меньше 9. Следовательно, X = <1, 3, 5, 7>→ форма реестра
  4. Набор всех букв в слове «Математика». Следовательно, Z = → Форма реестра
  5. W — это набор последних четырех месяцев года. Следовательно, W = <сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь>→ реестр.

Стоит отметить, что порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, но они не должны повторяться. Установленная форма построения, в заданном случае правило, формула или оператор записываются в пару скобок, чтобы набор был корректно определен. В форме set builder все элементы должны обладать одним свойством, чтобы стать членом рассматриваемого значения.

В этой форме представления набора элемент множества описывается с помощью символа «x» или любой другой переменной, за которой следует двоеточие («:» или «|» используется для обозначения). Например, пусть P — множество счетных чисел, большее 12. P в форме set-builder написано, как — <счетное число и больше 12>. Это будет читаться определенным образом. То есть, «P – множество элементов x, такое, что x является счетным числом и больше 12».

Решенный пример с использованием трех методов представления набора: количество целых чисел, лежащих между -2 и 3. Ниже приведены примеры различных типов наборов:

  1. Пустой или нулевой набор, который не содержит какого-либо элемента и обозначается символом ∅ и считывается как phi. В форме списка ∅ имеет написание <>. Пустым является конечное множество, так как число элементов 0. Например, набор целых значений меньше 0.
  2. Очевидно, что их не должно быть

Конечное множество

Множество, содержащее определенное число элементов, называется конечным либо бесконечным множеством. Пустое относится к первому. Например, набор всех цветов в радуге.

Бесконечное количество – это набор. Элементы в нем не могут быть перечислены. То есть, содержащий подобные переменные, называется бесконечным множеством. Примеры:

  • мощность множества всех точек в плоскости;
  • набор всех простых чисел.

Но стоит понимать, что все мощности объединения множества не могут быть выражены в форме списка. К примеру, вещественные числа, так как их элементы не соответствуют какой-либо конкретной схеме.

Кардинальный номер набора – это число различных элементов в заданном количестве A. Оно обозначается n (A).

Эквивалентные наборы для сравнения множеств

Две мощности множества A и B являются таковыми, если их кардинальное число одинаково. Символом для обозначения эквивалентного набора является «↔». Например: A ↔ B.

Равные наборы: две мощности множества A и B, если они содержат одни и те же элементы. Каждый коэффициент из A является переменной из B, и каждый из B является указанным значением A. Следовательно, A = B. Различные типы объединения множеств в мощности и их определения объясняются с помощью указанных примеров.

Сущность конечности и бесконечности

Каковы различия между мощностью конечного множества и бесконечного?

Для первого значения характерно следующее название, если оно либо пустое, либо имеет конечное число элементов. В конечном множестве переменная может быть указана, если она имеет ограниченный счет. Например, с помощью натурального числа 1, 2, 3. И процесс листинга заканчивается на некотором N. Число различных элементов, отсчитываемых в конечном множестве S, обозначается через n (S). А также называется порядком или кардинальным. Символически обозначается по стандартному принципу. Таким образом, если множество S является русским алфавитом, то оно содержит в себе 33 элемента. Также важно запомнить, что элемент не встречается более одного раза в наборе.

Бесконечное количество в множестве

Множество называется бесконечным, если элементы не могут быть перечислены. Если оно имеет неограниченное (то есть несчетное) натуральное число 1, 2, 3, 4 для любого n. Множество, которое не является конечным, называется бесконечным. Теперь можно обсудить примеры рассматриваемых числовых значений. Варианты конечного значения:

  1. Пусть Q = <натуральные числа меньше 25>. Тогда Q — конечное множество и n (P) = 24.
  2. Пусть R = <целые числа между 5 и 45>. Тогда R — конечное множество и n (R) = 38.
  3. Пусть S = <числа, модуль которых равен 9>. Тогда S = <-9, 9>является конечным множеством и n (S) = 2.
  4. Набор всех людей.
  5. Количество всех птиц.

Примеры бесконечного множества:

  • количество существующих точек на плоскости;
  • число всех пунктов в сегменте линии;
  • множество положительных целых чисел, кратных 3, является бесконечным;
  • все целые и натуральные числа.

Таким образом, из приведенных выше рассуждений понятно, как различать конечные и бесконечные множества.

Мощность множества континуум

Если провести сравнение множества и других существующих значений, то к множеству присоединено дополнение. Если ξ – универсальное, а A – подмножество ξ, то дополнение к A является количеством всех элементов ξ, которые не являются элементами A. Символически обозначается дополнение A относительно ξ как A’. К примеру, 2, 4, 5, 6 являются единственными элементами ξ, которые не принадлежат A. Следовательно, A’=

Множество с мощностью континуум имеет следующие особенности:

  • дополнением универсального количества является пустое рассматриваемое значение;
  • эта переменная нулевого множества является универсальным;
  • количество и его дополнение являются непересекающимися.
  1. Пусть количество натуральных чисел является универсальным множеством и А – четное. То, тогда A ‘.
  2. Пусть ξ = множество букв в алфавите. A = набор согласных. Тогда A ‘= количество гласных.
  3. Дополнением к универсальному множеству является пустое количество. Можно обозначить через ξ. Тогда ξ ‘= Множество тех элементов, которые не входят в ξ. Пишется и обозначается пустое множество φ. Поэтому ξ = φ. Таким образом, дополнение к универсальному множеству является пустым.

В математике «континуум» иногда используется для обозначения реальной линии. И в более общем плане, для описания подобных объектов:

  • континуум (в теории множеств) — вещественная линия или соответствующее кардинальное число;
  • линейный — любое упорядоченное множество, которое разделяет определенные свойства реальной прямой;
  • континуум (в топологии) — непустое компактное связное метрическое пространство (иногда хаусдорфово);
  • гипотеза о том, что никакие бесконечные множества больше целых чисел, но меньшие, чем действительные числа;
  • мощность континуума — кардинальное число, представляющее размер множества действительных чисел.

По существу дела, континуум (измерение), теории или модели, которые объясняют постепенные переходы из одного состояния в другое без каких-либо резких изменений.

Проблемы объединения и пересечения

Известно, что пересечение двух или более множеств – это количество, содержащее все элементы, которые являются общими в этих значениях. Задачи Word на множествах решаются, чтобы получить основные идеи о том, как использовать свойства объединения и пересечения множеств. Решенные основные проблемы слов на множествах выглядят так:

  1. Пусть A и B – два конечных множества. Они представляют собой такие, что n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, находится n (A ∩ B).

Связь в наборах с использованием диаграммы Венна:

  1. Объединение двух множеств может быть представлено заштрихованной областью, представляющей A ∪ B. A ∪ B, когда A и B – непересекающиеся множества.
  2. Пересечение двух множеств может быть представлено диаграммой Венна. С затененной областью, представляющей A ∩ B.
  3. Разность двух наборов может быть представлена диаграммами Венна. С заштрихованной областью, представляющей A — B.
  4. Связь между тремя наборами, использующими диаграмму Венна. Если ξ представляет универсальное количество, то A, B, C – три подмножества. Здесь все три набора являются перекрывающимися.

Обобщение информации о множестве

Мощность множества определяется как общее количество отдельных элементов в наборе. А последнее указанное значение описывается как количество всех подмножеств. При изучении подобных вопросов требуются методы, способы и варианты решения. Итак, у мощности множества примерами могут служить следующие:

Пусть A = <0,1,2,3>| | = 4, где | A | представляет мощность множества A.

Теперь можно найти свой набор мощности. Это тоже довольно просто. Как уже сказано, набор мощности установлен из всех подмножеств заданного количества. Поэтому нужно в основном определить все переменные, элементы и другие значения A, которые <>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, < 2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>.

Теперь мощность выясняет P = <<>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, <2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>>, который имеет 16 элементов. Таким образом, мощность множества A = 16. Очевидно, что это утомительный и громоздкий метод решения этой проблемы. Однако есть простая формула, по которой, непосредственно, можно знать количество элементов в множестве мощности заданного количества. | P | = 2 ^ N, где N — число элементов в некотором A. Эта формула может быть получена применением простой комбинаторики. Таким образом, вопрос равен 2 ^ 11, поскольку число элементов в множестве A равно 11.

Итак, множеством является любое численно выраженное количество, которое может быть всевозможным объектом. К примеру, машины, люди, числа. В математическом значении это понятие шире и более обобщенное. Если на начальных этапах разбираются числа и варианты их решения, то в средних и высших стадиях условия и задачи усложнены. По сути, мощность объединения множества определена принадлежностью объекта к какой-либо группе. То есть один элемент принадлежит к классу, но имеет одну или несколько переменных.

Источник