Меню

Мощность фактор множества как находить

Мощность множества: примеры. Мощность объединения множеств

Достаточно часто в математической науке возникает ряд трудностей и вопросов, причем многие ответы не всегда проясняются. Не исключением стала такая тема, как мощность множеств. По сути, это не что иное как численное выражение количества объектов. В общем смысле множество является аксиомой, у него нет определения. В основе лежат любые объекты, а точнее их набор, который может носить пустой, конечный или бесконечный характер. Кроме этого, он содержит числа целые или натуральные, матрицы, последовательности, отрезки и прямые.

О существующих переменных

Нулевой или пустой набор, не имеющий собственного значения, считается элементом мощности, так как это подмножество. Сбор всех подмножеств непустого множества S является множеством множеств. Таким образом, набор мощности заданного множества считается многим, мыслимым, но единым. Это множество называется множеством степеней S и обозначается P (S). Если S содержит N элементов, то P (S) содержит 2 ^ n подмножеств, так как подмножество P (S) является либо ∅, либо подмножеством, содержащим r элементов из S, r = 1, 2, 3, . Составленное из всего бесконечного множества M называется степенным количеством и символически обозначается P (M).

Элементы теории множеств

Эта область знаний была разработана Джорджем Кантором (1845-1918 годы жизни). Сегодня она используется почти во всех отраслях математики и служит ее фундаментальной частью. В теории множеств элементы представлены в форме списка и заданы типами (пустой набор, одноэлементный, конечные и бесконечные множества, равные и эквивалентные, универсальные), объединение, пересечение, разность и дополнение чисел. В повседневной жизни часто говорится о коллекции таких объектов, как куча ключей, стая птиц, пачка карточек и т. д. В математике 5 класса и не только, встречаются натуральные, целые, простые и составные числа.

Можно рассмотреть следующие множества:

  • натуральные числа;
  • буквы алфавита;
  • первичные коэффициенты;
  • треугольники с разными значениями сторон.

Видно, что эти указанные примеры представляют собой четко определенные множества объектов. Рассмотрим еще несколько примеров:

  • пять самых известных ученых мира;
  • семь красивых девушек в обществе;
  • три лучших хирурга.

Эти примеры мощности множества не являются четко определенными коллекциями объектов, потому, что критерий «наиболее известных», «самых красивых», «лучших» варьируется от человека к человеку.

Наборы

Это значение представляет собой четко определенное количество различных объектов. Предположив, что:

  • набор слов является синонимом, агрегатом, классом и содержит элементы;
  • объекты, члены являются равными по значению терминами;
  • наборы обычно обозначаются прописными буквами A, B, C;
  • элементы набора представлены маленькими буквами a, b, c.

Если «a» — элемент множества A, то говорится, что «a» принадлежит A. Обозначим фразу «принадлежит» греческим символом «∈» (epsilon). Таким образом, выходит, что a ∈ A. Если ‘b’ — элемент, который не принадлежит A, это представляется как b ∉ A. Некоторые важные наборы, используемые в математике 5 класса, представляют, используя три следующих метода:

  • заявки;
  • реестров или табличные;
  • правило создания построения.

При детальном рассмотрении форма заявления основана на следующем. В этом случае задано четкое описание элементов множества. Все они заключены в фигурные скобки. Например:

  • множество нечетных чисел, меньших 7 — записывается как <меньше 7>;
  • набор чисел больше 30 и меньше 55;
  • количество учеников класса, вес которых больше, чем учителя.

В форме реестра (табличной) элементы набора перечислены в паре скобок <> и разделены запятыми. Например:

  1. Пусть N обозначает множество первых пяти натуральных чисел. Следовательно, N = → форма реестра
  2. Набор всех гласных английского алфавита. Следовательно, V = → форма реестра
  3. Множество всех нечетных чисел меньше 9. Следовательно, X = <1, 3, 5, 7>→ форма реестра
  4. Набор всех букв в слове «Математика». Следовательно, Z = → Форма реестра
  5. W — это набор последних четырех месяцев года. Следовательно, W = <сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь>→ реестр.

Стоит отметить, что порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, но они не должны повторяться. Установленная форма построения, в заданном случае правило, формула или оператор записываются в пару скобок, чтобы набор был корректно определен. В форме set builder все элементы должны обладать одним свойством, чтобы стать членом рассматриваемого значения.

В этой форме представления набора элемент множества описывается с помощью символа «x» или любой другой переменной, за которой следует двоеточие («:» или «|» используется для обозначения). Например, пусть P — множество счетных чисел, большее 12. P в форме set-builder написано, как — <счетное число и больше 12>. Это будет читаться определенным образом. То есть, «P – множество элементов x, такое, что x является счетным числом и больше 12».

Решенный пример с использованием трех методов представления набора: количество целых чисел, лежащих между -2 и 3. Ниже приведены примеры различных типов наборов:

  1. Пустой или нулевой набор, который не содержит какого-либо элемента и обозначается символом ∅ и считывается как phi. В форме списка ∅ имеет написание <>. Пустым является конечное множество, так как число элементов 0. Например, набор целых значений меньше 0.
  2. Очевидно, что их не должно быть

Конечное множество

Множество, содержащее определенное число элементов, называется конечным либо бесконечным множеством. Пустое относится к первому. Например, набор всех цветов в радуге.

Бесконечное количество – это набор. Элементы в нем не могут быть перечислены. То есть, содержащий подобные переменные, называется бесконечным множеством. Примеры:

  • мощность множества всех точек в плоскости;
  • набор всех простых чисел.

Но стоит понимать, что все мощности объединения множества не могут быть выражены в форме списка. К примеру, вещественные числа, так как их элементы не соответствуют какой-либо конкретной схеме.

Кардинальный номер набора – это число различных элементов в заданном количестве A. Оно обозначается n (A).

Эквивалентные наборы для сравнения множеств

Две мощности множества A и B являются таковыми, если их кардинальное число одинаково. Символом для обозначения эквивалентного набора является «↔». Например: A ↔ B.

Равные наборы: две мощности множества A и B, если они содержат одни и те же элементы. Каждый коэффициент из A является переменной из B, и каждый из B является указанным значением A. Следовательно, A = B. Различные типы объединения множеств в мощности и их определения объясняются с помощью указанных примеров.

Сущность конечности и бесконечности

Каковы различия между мощностью конечного множества и бесконечного?

Для первого значения характерно следующее название, если оно либо пустое, либо имеет конечное число элементов. В конечном множестве переменная может быть указана, если она имеет ограниченный счет. Например, с помощью натурального числа 1, 2, 3. И процесс листинга заканчивается на некотором N. Число различных элементов, отсчитываемых в конечном множестве S, обозначается через n (S). А также называется порядком или кардинальным. Символически обозначается по стандартному принципу. Таким образом, если множество S является русским алфавитом, то оно содержит в себе 33 элемента. Также важно запомнить, что элемент не встречается более одного раза в наборе.

Бесконечное количество в множестве

Множество называется бесконечным, если элементы не могут быть перечислены. Если оно имеет неограниченное (то есть несчетное) натуральное число 1, 2, 3, 4 для любого n. Множество, которое не является конечным, называется бесконечным. Теперь можно обсудить примеры рассматриваемых числовых значений. Варианты конечного значения:

  1. Пусть Q = <натуральные числа меньше 25>. Тогда Q — конечное множество и n (P) = 24.
  2. Пусть R = <целые числа между 5 и 45>. Тогда R — конечное множество и n (R) = 38.
  3. Пусть S = <числа, модуль которых равен 9>. Тогда S = <-9, 9>является конечным множеством и n (S) = 2.
  4. Набор всех людей.
  5. Количество всех птиц.

Примеры бесконечного множества:

  • количество существующих точек на плоскости;
  • число всех пунктов в сегменте линии;
  • множество положительных целых чисел, кратных 3, является бесконечным;
  • все целые и натуральные числа.

Таким образом, из приведенных выше рассуждений понятно, как различать конечные и бесконечные множества.

Мощность множества континуум

Если провести сравнение множества и других существующих значений, то к множеству присоединено дополнение. Если ξ – универсальное, а A – подмножество ξ, то дополнение к A является количеством всех элементов ξ, которые не являются элементами A. Символически обозначается дополнение A относительно ξ как A’. К примеру, 2, 4, 5, 6 являются единственными элементами ξ, которые не принадлежат A. Следовательно, A’=

Множество с мощностью континуум имеет следующие особенности:

  • дополнением универсального количества является пустое рассматриваемое значение;
  • эта переменная нулевого множества является универсальным;
  • количество и его дополнение являются непересекающимися.
  1. Пусть количество натуральных чисел является универсальным множеством и А – четное. То, тогда A ‘.
  2. Пусть ξ = множество букв в алфавите. A = набор согласных. Тогда A ‘= количество гласных.
  3. Дополнением к универсальному множеству является пустое количество. Можно обозначить через ξ. Тогда ξ ‘= Множество тех элементов, которые не входят в ξ. Пишется и обозначается пустое множество φ. Поэтому ξ = φ. Таким образом, дополнение к универсальному множеству является пустым.

В математике «континуум» иногда используется для обозначения реальной линии. И в более общем плане, для описания подобных объектов:

  • континуум (в теории множеств) — вещественная линия или соответствующее кардинальное число;
  • линейный — любое упорядоченное множество, которое разделяет определенные свойства реальной прямой;
  • континуум (в топологии) — непустое компактное связное метрическое пространство (иногда хаусдорфово);
  • гипотеза о том, что никакие бесконечные множества больше целых чисел, но меньшие, чем действительные числа;
  • мощность континуума — кардинальное число, представляющее размер множества действительных чисел.

По существу дела, континуум (измерение), теории или модели, которые объясняют постепенные переходы из одного состояния в другое без каких-либо резких изменений.

Проблемы объединения и пересечения

Известно, что пересечение двух или более множеств – это количество, содержащее все элементы, которые являются общими в этих значениях. Задачи Word на множествах решаются, чтобы получить основные идеи о том, как использовать свойства объединения и пересечения множеств. Решенные основные проблемы слов на множествах выглядят так:

  1. Пусть A и B – два конечных множества. Они представляют собой такие, что n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, находится n (A ∩ B).

Связь в наборах с использованием диаграммы Венна:

  1. Объединение двух множеств может быть представлено заштрихованной областью, представляющей A ∪ B. A ∪ B, когда A и B – непересекающиеся множества.
  2. Пересечение двух множеств может быть представлено диаграммой Венна. С затененной областью, представляющей A ∩ B.
  3. Разность двух наборов может быть представлена диаграммами Венна. С заштрихованной областью, представляющей A — B.
  4. Связь между тремя наборами, использующими диаграмму Венна. Если ξ представляет универсальное количество, то A, B, C – три подмножества. Здесь все три набора являются перекрывающимися.

Обобщение информации о множестве

Мощность множества определяется как общее количество отдельных элементов в наборе. А последнее указанное значение описывается как количество всех подмножеств. При изучении подобных вопросов требуются методы, способы и варианты решения. Итак, у мощности множества примерами могут служить следующие:

Пусть A = <0,1,2,3>| | = 4, где | A | представляет мощность множества A.

Теперь можно найти свой набор мощности. Это тоже довольно просто. Как уже сказано, набор мощности установлен из всех подмножеств заданного количества. Поэтому нужно в основном определить все переменные, элементы и другие значения A, которые <>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, < 2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>.

Теперь мощность выясняет P = <<>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, <2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>>, который имеет 16 элементов. Таким образом, мощность множества A = 16. Очевидно, что это утомительный и громоздкий метод решения этой проблемы. Однако есть простая формула, по которой, непосредственно, можно знать количество элементов в множестве мощности заданного количества. | P | = 2 ^ N, где N — число элементов в некотором A. Эта формула может быть получена применением простой комбинаторики. Таким образом, вопрос равен 2 ^ 11, поскольку число элементов в множестве A равно 11.

Итак, множеством является любое численно выраженное количество, которое может быть всевозможным объектом. К примеру, машины, люди, числа. В математическом значении это понятие шире и более обобщенное. Если на начальных этапах разбираются числа и варианты их решения, то в средних и высших стадиях условия и задачи усложнены. По сути, мощность объединения множества определена принадлежностью объекта к какой-либо группе. То есть один элемент принадлежит к классу, но имеет одну или несколько переменных.

Источник

Отношения эквивалентности. Фактор-множества

Выполнил: студент 1 курса 3 группы

Теория множеств. Основные понятия

Теория множеств является основополагающим определением современной математики. Она была создана Георгом Кантором в 1860-х гг. Он писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое». Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить. Таким образом, множество – объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью; совокупность некоторых объектов, определенных общим признаком.

1. Множество жителей г. Воронежа

2. Множество точек плоскости

3. Множество натуральных чисел ℕи др.

Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами( A, B, C и т.д.). Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами( a, b, c и т.д.). Если Х – множество, то запись х∈Х означает, что х есть элемент множества Х или что х принадлежит множеству Х, а запись х∉Х, что элемент х не принадлежит множеству Х. Например, пусть ℕ–множество натуральных чисел. Тогда 5 ℕ, а 0,5∉ℕ.

Если множество Y состоит из элементов множества Х, то говорят, что Y является подмножеством множества Х и обозначают Y⊂Х (или Y⊆Х). Например, множество целых чисел ℤ является подмножеством рациональных чисел ℚ.

Если для двух множеств Х и Y одновременно имеют место два включения Х Y и Y Х, т.е. Х есть подмножество множества Y и Y есть подмножество множества Х, то множества Х и Y состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и Y называют равными и пишут: Х=Y.

Часто используется термин пустое множество — Ø — множество, не содержащее ни одного элемента. Оно является подмножеством любого множества.

Для описания множеств могут использоваться следующие способы.

Способы задания множеств

1. Перечисление объектов. Используется только для конечных множеств.

Например, Х=>. Запись Y = означает, что множество состоит из четырех чисел 1, 4, 7, 5.

2. Указание характеристического свойства элементов множества.

Для этого задается некоторое свойство Р, позволяющее определить принадлежность элемента множеству. Этот способ является более универсальным.

(множество Х состоит их таких элементов х, для которых выполняется свойство Р (х)).

Пустое множество можно задать, указав его свойства: Ø=

Построить новые множества можно с помощью уже заданных, используя операции над множествами.

Операции над множествами

1. Объединением(суммой) называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В.

2. Пересечением(произведением) называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых одновременно принадлежит как множеству А, так и множеству В.

3. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

4. Если А – подмножество множества В. То множество В\А называют дополнением множества А до множества В и обозначают А’.

5. Симметрической разностью двух множеств называют множество А∆В=(А\В) (В\А)

N — множество всех натуральных чисел;
Z — множество всех целых чисел;
Q — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел;
C — множество всех комплексных чисел;
Z 0 — множество всех неотрицательных целых чисел.

Свойства операций над множествами:

1. А В=В А (коммутативность объединения)

2. А В=В А (коммутативность пересечения)

3. А(В С)=(А В) С (ассоциативность объединения)

4. А С)=(А В) С (ассоциативность пересечения)

5. А (В С)=(А В) (А С) (1 закон дистрибутивности)

6. А (В С)=(А В) С) (2 закон дистрибутивности)

9. А Ø= Ø

10. А U=А

11. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

12. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

13. А (А В)=А (закон поглощения)

14. А (А В)=А (закон поглощения)

Докажем свойство №11. (А В)’=А’ В’

По определению равных множеств, нам необходимо доказать два включения 1) (А В)’ ⊂А’ В’;

2) А’ В’⊂(А В)’.

Для доказательства первого включения, рассмотрим произвольный элемент х∈(А В)’=Х\(А∪В). Это означает, что х∈Х, х∉ А∪В. Отсюда следует, что х∉А и х∉В, поэтому х∈Х\А и х∈Х\В, а значит х∈А’∩В’. Таким образом, (А В)’⊂А’ В’

Обратно, если х∈А’ В’, то х одновременно принадлежит множествам А’, В’, а значит х∉А и х∉В. Из этого следует, что х∉ А В, поэтому х∈(А В)’. Следовательно, А’ В’⊂(А В)’.

Итак, (А В)’=А’ В’

Множество, состоящее из двух элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченной парой. Для ее записи используют круглые скобки. (х 1, х 2) – двухэлементное множество, в котором х 1 считается первым элементом, а х 2 – вторым. Пары (х 1, х 2) и (х 2, х 1), где х 1≠ х 2, считаются различными.

Множество, состоящее из n элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченным набором из n элементов.

Декартово произведение – произвольное множество X 1, X 2,…,X n упорядоченных наборов из n элементов, где x 1 X 1, x 2 X 2,…, x n X n

Если множества X 1, X 2,…,X n совпадают (X 1= X 2=…=X n), то их произведение обозначается Х n .

Например, ℝ 2 – множество упорядоченных пар вещественных чисел.

Отношения эквивалентности. Фактор-множества

По данному множеству можно строить новые множества, рассматривая множество некоторых подмножеств. При этом обычно говорят не о множестве подмножеств, а о семействе или классе подмножеств.

В ряде вопросов рассматривают класс таких подмножеств данного множества А, которые не пересекаются и объединение которых совпадает с А. Если данное множество А можно представить в виде объединения своих попарно не пересекающихся подмножеств, то принято говорить, что А разбито на классы. Разбиение на классы осуществляют на основе какого-либо признака.

Пусть Х – не пустое множество, тогда любое подмножество R из произведения Х Х называется бинарным отношением на множестве Х. Если пара (х,у) входит в R, говорят, что элемент х находится в отношении R с у.

Например, отношения х=у, х≥у являются бинарным отношениями на множестве ℝ.

Бинарное отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если:

1. (х,х) R; х Х (свойство рефлексивности)

2. (х,у) R => (у,х) R (свойство симметричности)

3. (х,у) R, (у,z) R, то (x,z) R (свойство транзитивности)

Если пара (х,у) вошла в отношения эквивалентности, то х и у называют эквивалентными (х

1.Пусть ℤ – множество целых чисел, m≥1 – целое число. Зададим отношение эквивалентности R на ℤтак, чтобы n

k, если n-k делится на m. Проверим, выполняются ли свойства на данном отношении.

Для любого n∈ℤ ℤ такого, что (p,p)∈R

Из (n,k) ∈R следует, что существует такое р∈ ℤ, что n-k=mp;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ, следовательно (k,n) ∈R.

Из того, что (n,k) ∈R, (k,q) ∈R следует, что существуют такие р 1 и р 2∈ ℤ, что n-k=mp 1 и k-q=mp 2. Сложив данные выражения, получаем, что n-q=m(p 1+ p 2), p 1+ p 2=p, p∈ ℤ. Поэтому (n,q) ∈ ℤ.

2.Рассмотрим множество Х всех направленных отрезков пространства или плоскости . =( А, В). Введем отношение эквивалентности R на Х.

, ∈R тогда и только тогда, когда они

3. Равны по длине

Пусть Х – множество, с введенным на нем отношением эквивалентности R. Тогда подмножества А⊂Х называются классом эквивалентности( а̃), если выполняются свойства:

1. А состоит из эквивалентных друг другу элементов.

2. Если х Х, эквивалентен хотя бы одному а А, то х А.

Теорема. Два класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются и любой элемент из множества Х попадает в один класс эквивалентности.

Доказательство. В теореме считается, что на множестве Х задано отношение эквивалентности R.

А,В⊂Х – 2 класса эквивалентности. Допустим, что А∩В и х∈А∩В.

Докажем, что классы совпадают.

Если а – некоторый элемент из А, то а

х. Так как х∈В, то а∈В. Таким образом, А⊂В. b – некоторый элемент из В, поэтому b

х. Поскольку х∈В, то b∈А. А значит А=В.

Докажем, что А – класс эквивалентности. Любые а,b∈А. По свойству транзитивности а

b, а следовательно а

Для любого у∈Х у

х, а значит у∈А. Теорема доказана.

Свойство 2 из определения класса эквивалентности следует из определения класса А.

Пусть Х – множество с отношением эквивалентности R(множество Х состоит из объединения классов эквивалентности).

Совокупность всех классов эквивалентности называется фактор-множеством и обозначается Х/R.

В примере 1 фактор-множеством являются множества целых числе, сравнимых по модулю с m. Это множество состоит из элементов

=<1+km, k∈ ℤ>;

=.

В примере 2 фактор множество есть множество направлений прямых на плоскости (в пространстве). Каждая из параллельных друг другу прямых (из класса эквивалентности) служит «представителем» направления.

Источник



Мощность множества

Теория множеств заняла свое подобающее место в основаниях математики после того, как Г. Кантором были получены существенные результаты в теории безконечных множеств. Так что можно сказать, что теория множеств – это наука в основном о безконечных множествах.

Первый вопрос, который возникает при изучении безконечных множеств – вопрос о количественной характеристике «безконечности». Т.е., различаются ли между собой безконечные множества и если да, то каким образом это различие можно характеризовать? Точный смысл этим словам придал Кантор. Он показал, что каждому множеству соответствует некоторая характеристика, называемая мощностью, или кардинальным числом множества.

Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого.

Покажем, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности.

1. Существует биекция А в А (id A) – тождественное преобразование – рефлексивность.

2. Если f – биекция, то f —1 – тоже биекция – симметричность.

3. Если существует биекция f: A # B и существует биекция g: B# C, то существует биекция A# C – например, композиция f◦g двух биекций – транзитивность.

Следовательно, по свойству отношения эквивалентности, отношение разбивает все(!) множества на классы эквивалентности. Фактор–множество всех множеств по этому отношению «есть то общее, что присуще всем множествам данного класса» и есть мощность, или кардинальное число множества.

Так, для конечных множеств отношение равномощности означает, что в них одинаковое число элементов, но определение имеет смысл и для безконечных множеств. Например, интервалы (0,1) и (0,2) равномощны, поскольку отображение х a 2х осуществляет искомое соответствие.

Далее можно выбрать из каждого класса равномощных множеств по представителю – некоторому «стандартному» множеству и затем сравнивать произвольные множества с этими стандартными, устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. Получится некоторая своеобразная «линейка» для сравнения множеств.

Но здесь есть по крайней мере две тонкости: во-первых, необходим полный, без «дырок», набор «стандартных» множеств – хорошая линейка, во-вторых, ею надо уметь пользоваться – как мы увидим, взаимно однозначное соответствие между бесконечными множествами не слишком согласуется с обычными представлениями и числе элементов в конечных множествах.

Перейдём к изучению множеств, состоящих из безконечного числа элементов.

Первым делом заметим, что в аксиоматике Цермело-Френкеля есть аксиома о существовании хотя бы одного бесконечного множества – множества натуральных чисел. С него мы и начнем. Этому множеству (точнее, его классу эквивалентности) присвоено наименование – счетное множество и обозначение мощности – א 0. И сразу мы встречаемся с парадоксом, о котором упоминалось ранее как об умении пользоваться линейкой. «Парадокс» заключается в том, что множество натуральных чисел и множество, скажем, чётных чисел биективно отображаются друг на друга, т.е. имеют одинаковую мощность, и в то же время одно множество является подмножеством другого. Для конечных множеств это нонсенс – биекция невозможна между множеством и его собственным подмножеством. Но для бесконечных множеств, как мы установим впоследствии – это непременный факт.

Источник

Читайте также:  Как узнать ток двигателя если известен мощность