Меню

Какие напряжения возникают при крутящем моменте

Напряжения при кручении.

Кручение — это деформация, вызываемая действием пар сил, лежащих в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси стержня. На основании опытных данных известно:

1) если на поверхность вала нанести сетку в виде квадратиков, то при приложении вращающею момента Т квадраты перекашиваются, обращаясь в ромбы т.е. подвергаются деформации сдвига (Рисунок 54. а);

2) образующие поворачиваются на один и тот же угол у. При малых деформациях они остаются прямыми (при больших — винтовыми);

3) расстояния между поперечными сечениями dz практически не изменяются, следовательно, в направлении параллельном оси стержня z нормальное напряжение отсутствует σ = 0;

4) сечения круглые и плоские до деформации остаются плоскими, но поворачиваются вокруг оси на некоторый угол, называемый углом закручивания ф. Величина этого угла пропорциональна величине вращающего момента и расстоянию между сечениями.

5) радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.

На основании этих наблюдений в расчетах предполагают, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими после закручивания; расстояния между поперечными сечениями не изменяются, а радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.

В соответствии с этими гипотезами материал в поперечных сечениях подвергается чистому сдвигу, т.е. при кручении стержня круглого поперечного сечения по площадкам, перпендикулярным к оси вала, возникают только касательные напряжения (Рисунок 54. б).

Разрежем мысленно скручиваемый вал на расстоянии 2 и отбросим правую часть. Левая оставшаяся часть должна находиться в равновесии под действием вращающего момента Т и крутящего момента Мz от внутренних сил dF, которые заменяют действие отброшенной части (Рисунок 54. б):

Выделим элементарную площадку dA. Сила, приложенная к ней будет: ;

;

. (2.1)

Из полученного уравнения величину касательных напряжений найти не можем, т.к. не знаем как они распределяются но сечению, то есть, задача статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости обратимся к рассмотрению упругих деформаций вала. Рассмотрим два сечения на элементарном расстоянии dz (Рисунок 54. в).

Абсолютного сдвига .

Относительный сдвиг .

По закону Г ука при сдвиге касательные напряжения в точке В ; — модуль упругости второго рода, для стали .

Касательные напряжения в любой площадке на расстоянии ρ:

(2.2)

Подставим уравнение (2.2) в (2.1 ):

При интегрировании по площади ни φ, ни z не изменяются, то есть

так как ; или (2.3)

Подставим уравнение (2.3) в (2.2): . Наибольшие напряжения будут при и ; ,

где — полярный момент сопротивления круглого вала или момент сопротивления сечения при кручении. Основное условие прочности при кручении:

(2.4)

Допускаемое напряжение при кручении: .

Тогда диаметр вала из условия прочности .

2.5.2 Деформации при кручении.

Деформации мри кручении характеризуются углом поворота одного сечения относительно другою или углом закручивания.

откуда .

На длине l угол закручивания будет

— закон Гука при кручении, (2.5)

где — жесткость сечения стержня при кручении.

Принимая — крутильная податливость стержня, получим, что .

2.5.3 Условие жесткости скручиваемого вала.

Если площадь сечения изменяется по длине стержня ступенчато, а М скачкообразно, то полный угол закручивания определяют, суммируя углы закручивания по участкам, в пределах которых Мкр и Jp постоянны. Тогда условие жесткости скручиваемого вала:

(рад),

или ,

или .

Угол закручивания на единицу длины бруса называют относительным углом закручивания рад/м.

Допускаемое значение относительного угла закручивания зависит от конструкции.

Диаметр вала с учетом обеспечения жесткости:

.

Таким образом, размеры вала следует определять не только из условия прочности (2.4). но и из условия жесткости (2.5).

Читайте также:  Что такое напряжение виды единица измерения

2.5.4 Напряжения при изгибе.

Чистым называют такой изгиб, при котором в сечениях изгибаемой балки возникают только нормальные напряжения. На основании опытных данных известно (Рисунок 55):

1) При изгибе одни волокна растягиваются аb, другие сжимаются cd. Следовательно, имеется слой волокон, который отделяет сжатую зону от растянутой (Рисунок 55. б).

2) Изменяются и поперечные размеры балки. Ширина балки внизу увеличивается (сжаты продольные волокна, а поперечные волокна растянуты), вверху ширина балки уменьшается (растянуты продольные волокна, а поперечные сжаты).

3) Вертикальные линии 1-1, 2-2 остаются прямыми, но наклоняются друг к другу на некоторый угол dφ.

4) Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью (ось х).

5) Нейтральная ось х и ось у являются главными центральными осями.

Ограничения при расчете: Рассматривают участок, где балка подвергается чистому изгибу (II участок).

Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости, такой изгиб называется плоским, т.к. изогнутая ось лежит в плоскости действия силы.

Материал балки подчиняется закону Гука, и модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

Опытные наблюдения дают основания для принятия следующих гипотез: Сечения после изгиба остаются плоскими, но поворачиваются вокруг нейтральной оси на угол dφ. Волокна не оказывают давления друг на друга (σy и σz = 0), следовательно, подвергаются простому растяжению или сжатию.

Рассмотрим сечение балки. Выделим элементарные площадки dА сверху и снизу от нейтральной оси х на расстоянии у (Рисунок 56. а).

Элементарная сила (сверху растягивающая, снизу — сжимающая) будет равна dF = σdA, где σ — нормальное напряжение при растяжении.

Элементарный изгибающий момент от этой силы:

.

Изгибающий момент равен сумме элементарных моментов, т.е. интегралу по площади . (2.6)

Из полученного уравнения величину Му найти не можем, т.к. не знаем как распределяются напряжения по сечению, т.е. задача статически неопределима. Обратимся к рассмотрению деформаций (Рисунок 56. б), ρ — радиус кривизны нейтрального слоя. Длина волокна до изгиба ab = OO = l. Длина нейтрального слоя после изгиба остается постоянной .Длина волокна аb после изгиба увеличилась . Абсолютное удлинение . Относительное удлинение .

По закону Гука . (2.7)

Подставим (2.7) в (2.6) : ,

где — осевой момент инерции, или

— кривизна балки. (2.8)

Подставим уравнение (2.8) в (2.7): . Из этой формулы следует ряд важных выводов:

— центр тяжести стержня является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил;

— напряжения изгиба зависят от значений Mx, Jx и координаты рассматриваемой точки;

— напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой;

— нормальные напряжения не зависят от модуля упругости стержня, например, два конструктивно одинаковых стержня из стали и и титанового сплава) при рамной внешней нагрузке имеют одинаковые напряжения в соответствующих точках сечений.

Основное условие прочности при изгибе:

(2.4)

При проектом расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения, например, для круглою сечения

; , мм.

Для прокатных профилей после расчета Wx подбирают номер профиля по справочным таблицам.

2.5.5 Деформации и перемещения при изгибе.

Под действием внешних сил, расположенных перпендикулярно к оси балки в плоскости симметрии, балка будет искривляться. Первоначальная прямая ось балки искривляется, превращаясь в кривую линию, которую называют изогнутой осью или упругой линией балки (Рисунок 57). Ранее было получено, что кривизна балки . — жесткость при изгибе.

Читайте также:  Ибс стенокардия напряжения 3фк мкб

Вертикальное перемещение называется прогибом

;

Поперечные сечения поворачиваются вокруг нейтральной оси. Угол поворота

1) — линейные перемещения (прогибы),

2) — угловые перемещения.

Причем, производная от прогиба по абсциссе равна тангенсу угла поворота поперечного сечения

или , т.к.

tgθ = θ (при малых значениях θ). Вторая производная от прогиба равна кривизне балки .

2.6 Основы теории напряженного состояния.

Если элемент материала, взятый из окрестности точки, подвергать растяжению либо сжатию в двух или грех направлениях, то материал будет находиться в условиях сложного напряженною состояния.

Различают следующие виды напряженного состояния:

Источник

Напряжения в поперечных сечениях вала при кручении

Поворот при кручении смежных поперечных сечений друг относительно друга вокруг оси вала вызывает появление в них касательных напряжений t. Сдвиги элементарных площадок смежных сечений происходят в направлениях, перпендикулярных радиусам. Так же направлены и напряжения t, которые вдоль радиусов изменяются по закону прямой линии (рис. 3.1). Внутренний крутящий момент Мкр в поперечном сечении рассматриваемой части вала, действующий со стороны его отброшенной части, является результирующим моментом всех напряжений t, действующих по сечению, относительно оси вала.

где Mкp — внутренний крутящий момент в рассматриваемом поперечном сечении;

Jp полярный момент инерции рассматриваемого сечения.

Из формулы (3.8) следует, что максимальные касательные напряжения в конкретном поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от оси вала, то есть у его поверхности (при ρ=ρmax=0,5d).

где — полярный момент сопротивления сечения кручению.

Для сплошного вала

Рисунок 3.1 — Схема распределения касательных напряжений по поперечному сечению вала

Подбор сечений валов

Для обеспечения надежной работы валы должны удовлетворять условию прочности и условию жесткости. Для валов, работающих на чистое кручение, условие прочности имеет вид

, (3.10)

где [t] — допускаемое касательное напряжение для материала вала.

Отсюда полярный момент сопротивления сечения, удовлетворяющий условию прочности:

Валы на чистое кручение никогда не работают, так как всегда кроме кручения испытывают изгиб от собственной силы тяжести, сил тяжести насаженных на него элементов передач и усилий в этих передачах. Однако даже при значительных изгибных нагрузках, при приближенных прикидочных расчетах валы считают работающими на чистое кручение, а действие изгиба косвенно учитывают путем понижения допускаемого напряжения [t].

Условие жесткости при кручении для валов имеет вид

где [q] — допустимое значение относительного угла закручивания.

Отсюда полярный момент инерции сечения, удовлетворяющий условию жесткости,

При подборе сечений валов используют оба условия: условие прочности (3.10) и условие жесткости (3.11). При этом диаметр вала принимается равным большему из двух полученных значений, округленному в большую сторону до ближайшего стандартного.

Пример расчета

На передаточный вал сплошного круглого постоянного поперечного сечения (рис. 3.2,a) насажены четыре шкива. Шкив С получает от двигателя внешний крутящий момент mС . Шкивы А, В, Д входят в ременные передачи, вторые шкивы которых насажены на три вала, параллельные рассматриваемому, со стороны которых он через эти шкивы получает внешние моменты mA, mB, mД. Три из четырех указанных моментов известны по величине и направлению, четвертый – неизвестен ни по величине, ни по направлению.

G=8×10 4 МПа; [τ]=20 МПа; [θ]=0,25 .

Для заданного вала построить эпюру внутренних крутящих моментов и определить диаметр, обеспечивающий его прочность и жесткость.

Читайте также:  Переменное напряжение две катушки

Рисунок 3.2 – Расчетная схема вала и эпюра внутренних крутящих моментов Мкр.z

1) Определим внешний момент mB, для чего используем уравнение равновесия вала (3.2). Будем смотреть на вал слева, считая положительным направление m против часовой стрелки. Искомый момент mB предварительно направим против часовой стрелки. Моментами трения в опорах вала будем пренебрегать.

Знак искомого момента mВ получился положительным, следовательно, его направление было выбрано верно.

2) Определим внутренние крутящие моменты в поперечных сечениях участков вала, используя указанное выше правило знаков (см. стр. 14). При этом будем перемещаться вдоль вала слева направо, отбрасывая левые и рассматривая правые его части.

Проверим последнее значение Мкр.z ходом справа налево:

Эпюра Мкр.z показана на рис. 3.2,б.

3) Определим диаметр вала, обеспечивающий условие его прочности:

Для сплошного вала Wp= .

Отсюда 69 мм.

С целью приведения в соответствие размерностей числителя и знаменателя выражения для d значение момента Мкр.max подставляем в него в Н×мм.

4) Определим диаметр вала, обеспечивающий условие жесткости

Для сплошного вала Jp= .

Отсюда 78 мм,

где = .

Окончательно принимаем d=80 мм.

5) Проверим прочность и жесткость рассматриваемого вала при d=80 мм.

12,7 МПа 3 .

Вопросы для самоконтроля

1 Какой вид нагружения называют кручением?

2 В каких случаях вал будет работать начистоекручение?

3 Как по передаваемой мощности определить соответствующий крутящий момент?

4 Какую величину называют полярным моментом инерции сечения? Какова его единица измерения?

5 Какую величину называют полярным моментом сопротивления сечения? Какова его единица измерения?

6Что такое относительный угол закручивания?

7 Как распределяются касательные напряжения по поперечному сечению вала при кручении?

8 В каких точках вала возникают наибольшие касательные напряжения при кручении?

9 Как выглядит условие прочности вала при кручении?

10 Как выглядит условие жесткости вала при кручении?

11 Какие напряжения возникают в поперечных, продольных и наклонных сечениях вала при кручении?

12 В чем заключается закон парности касательных напряжений?

Источник



Напряжения при кручении

Напряжения при кручении

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол , продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

Напряжения при кручении

Напряжения при кручении

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге Напряжения при кручении, Напряжения при кручении— модуль упругости при сдвиге, Напряжения при кручении; Напряжения при кручении— угол сдвига, рад.

Эта теория взята со страницы решения задач по предмету «техническая механика»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбе

Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбеf9219603113@gmail.com


Помощь студентам в учёбе

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник