Меню

Какими формулами определяются напряжения при кручении

Напряжения при кручении.

Кручение — это деформация, вызываемая действием пар сил, лежащих в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси стержня. На основании опытных данных известно:

1) если на поверхность вала нанести сетку в виде квадратиков, то при приложении вращающею момента Т квадраты перекашиваются, обращаясь в ромбы т.е. подвергаются деформации сдвига (Рисунок 54. а);

2) образующие поворачиваются на один и тот же угол у. При малых деформациях они остаются прямыми (при больших — винтовыми);

3) расстояния между поперечными сечениями dz практически не изменяются, следовательно, в направлении параллельном оси стержня z нормальное напряжение отсутствует σ = 0;

4) сечения круглые и плоские до деформации остаются плоскими, но поворачиваются вокруг оси на некоторый угол, называемый углом закручивания ф. Величина этого угла пропорциональна величине вращающего момента и расстоянию между сечениями.

5) радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.

На основании этих наблюдений в расчетах предполагают, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими после закручивания; расстояния между поперечными сечениями не изменяются, а радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.

В соответствии с этими гипотезами материал в поперечных сечениях подвергается чистому сдвигу, т.е. при кручении стержня круглого поперечного сечения по площадкам, перпендикулярным к оси вала, возникают только касательные напряжения (Рисунок 54. б).

Разрежем мысленно скручиваемый вал на расстоянии 2 и отбросим правую часть. Левая оставшаяся часть должна находиться в равновесии под действием вращающего момента Т и крутящего момента Мz от внутренних сил dF, которые заменяют действие отброшенной части (Рисунок 54. б):

Выделим элементарную площадку dA. Сила, приложенная к ней будет: ;

;

. (2.1)

Из полученного уравнения величину касательных напряжений найти не можем, т.к. не знаем как они распределяются но сечению, то есть, задача статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости обратимся к рассмотрению упругих деформаций вала. Рассмотрим два сечения на элементарном расстоянии dz (Рисунок 54. в).

Абсолютного сдвига .

Относительный сдвиг .

По закону Г ука при сдвиге касательные напряжения в точке В ; — модуль упругости второго рода, для стали .

Касательные напряжения в любой площадке на расстоянии ρ:

(2.2)

Подставим уравнение (2.2) в (2.1 ):

При интегрировании по площади ни φ, ни z не изменяются, то есть

так как ; или (2.3)

Подставим уравнение (2.3) в (2.2): . Наибольшие напряжения будут при и ; ,

где — полярный момент сопротивления круглого вала или момент сопротивления сечения при кручении. Основное условие прочности при кручении:

(2.4)

Допускаемое напряжение при кручении: .

Тогда диаметр вала из условия прочности .

2.5.2 Деформации при кручении.

Деформации мри кручении характеризуются углом поворота одного сечения относительно другою или углом закручивания.

откуда .

На длине l угол закручивания будет

— закон Гука при кручении, (2.5)

где — жесткость сечения стержня при кручении.

Принимая — крутильная податливость стержня, получим, что .

2.5.3 Условие жесткости скручиваемого вала.

Если площадь сечения изменяется по длине стержня ступенчато, а М скачкообразно, то полный угол закручивания определяют, суммируя углы закручивания по участкам, в пределах которых Мкр и Jp постоянны. Тогда условие жесткости скручиваемого вала:

(рад),

или ,

или .

Угол закручивания на единицу длины бруса называют относительным углом закручивания рад/м.

Допускаемое значение относительного угла закручивания зависит от конструкции.

Диаметр вала с учетом обеспечения жесткости:

.

Таким образом, размеры вала следует определять не только из условия прочности (2.4). но и из условия жесткости (2.5).

2.5.4 Напряжения при изгибе.

Чистым называют такой изгиб, при котором в сечениях изгибаемой балки возникают только нормальные напряжения. На основании опытных данных известно (Рисунок 55):

1) При изгибе одни волокна растягиваются аb, другие сжимаются cd. Следовательно, имеется слой волокон, который отделяет сжатую зону от растянутой (Рисунок 55. б).

Читайте также:  Симисторный стабилизатор напряжения иэк

2) Изменяются и поперечные размеры балки. Ширина балки внизу увеличивается (сжаты продольные волокна, а поперечные волокна растянуты), вверху ширина балки уменьшается (растянуты продольные волокна, а поперечные сжаты).

3) Вертикальные линии 1-1, 2-2 остаются прямыми, но наклоняются друг к другу на некоторый угол dφ.

4) Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью (ось х).

5) Нейтральная ось х и ось у являются главными центральными осями.

Ограничения при расчете: Рассматривают участок, где балка подвергается чистому изгибу (II участок).

Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости, такой изгиб называется плоским, т.к. изогнутая ось лежит в плоскости действия силы.

Материал балки подчиняется закону Гука, и модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

Опытные наблюдения дают основания для принятия следующих гипотез: Сечения после изгиба остаются плоскими, но поворачиваются вокруг нейтральной оси на угол dφ. Волокна не оказывают давления друг на друга (σy и σz = 0), следовательно, подвергаются простому растяжению или сжатию.

Рассмотрим сечение балки. Выделим элементарные площадки dА сверху и снизу от нейтральной оси х на расстоянии у (Рисунок 56. а).

Элементарная сила (сверху растягивающая, снизу — сжимающая) будет равна dF = σdA, где σ — нормальное напряжение при растяжении.

Элементарный изгибающий момент от этой силы:

.

Изгибающий момент равен сумме элементарных моментов, т.е. интегралу по площади . (2.6)

Из полученного уравнения величину Му найти не можем, т.к. не знаем как распределяются напряжения по сечению, т.е. задача статически неопределима. Обратимся к рассмотрению деформаций (Рисунок 56. б), ρ — радиус кривизны нейтрального слоя. Длина волокна до изгиба ab = OO = l. Длина нейтрального слоя после изгиба остается постоянной .Длина волокна аb после изгиба увеличилась . Абсолютное удлинение . Относительное удлинение .

По закону Гука . (2.7)

Подставим (2.7) в (2.6) : ,

где — осевой момент инерции, или

— кривизна балки. (2.8)

Подставим уравнение (2.8) в (2.7): . Из этой формулы следует ряд важных выводов:

— центр тяжести стержня является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил;

— напряжения изгиба зависят от значений Mx, Jx и координаты рассматриваемой точки;

— напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой;

— нормальные напряжения не зависят от модуля упругости стержня, например, два конструктивно одинаковых стержня из стали и и титанового сплава) при рамной внешней нагрузке имеют одинаковые напряжения в соответствующих точках сечений.

Основное условие прочности при изгибе:

(2.4)

При проектом расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения, например, для круглою сечения

; , мм.

Для прокатных профилей после расчета Wx подбирают номер профиля по справочным таблицам.

2.5.5 Деформации и перемещения при изгибе.

Под действием внешних сил, расположенных перпендикулярно к оси балки в плоскости симметрии, балка будет искривляться. Первоначальная прямая ось балки искривляется, превращаясь в кривую линию, которую называют изогнутой осью или упругой линией балки (Рисунок 57). Ранее было получено, что кривизна балки . — жесткость при изгибе.

Вертикальное перемещение называется прогибом

;

Поперечные сечения поворачиваются вокруг нейтральной оси. Угол поворота

1) — линейные перемещения (прогибы),

2) — угловые перемещения.

Причем, производная от прогиба по абсциссе равна тангенсу угла поворота поперечного сечения

или , т.к.

tgθ = θ (при малых значениях θ). Вторая производная от прогиба равна кривизне балки .

2.6 Основы теории напряженного состояния.

Если элемент материала, взятый из окрестности точки, подвергать растяжению либо сжатию в двух или грех направлениях, то материал будет находиться в условиях сложного напряженною состояния.

Читайте также:  При каком напряжении допускается отключение электропроводов с использованием диэлектрических ножниц

Различают следующие виды напряженного состояния:

Источник

ISopromat.ru

τ — касательные напряжения,
T – внутренний крутящий момент,
Ip – полярный момент инерции сечения вала,
Wp – полярный момент сопротивления сечения,
[ τ ] – допустимое напряжение,
G – модуль упругости II рода (модуль сдвига),
ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки,
D – внешний диаметр вала,
d – внутренний диаметр вала кольцевого сечения.

Закон Гука при кручении (чистом сдвиге)

Закон Гука при кручении

Расчет касательных напряжений в произвольной точке сечения вала

Формула для расчета касательных напряжений в сечении вала

Условие прочности вала при кручении

Формулы полярных моментов инерции и сопротивления

  • для вала сплошного (круглого) сечения
    Формулы для вала круглого сечения
  • для вала кольцевого сечения
    Формулы для вала кольцевого сечения

Формулы для подбора диаметра вала по условию прочности

  • сплошное круглое сечение
    Подбор диаметра вала круглого сечения (формула)
  • кольцевое сечение
    Формула расчета внешнего диаметра вала кольцевого сечения

Абсолютные деформации (угол закручивания участков вала)

Источник



Деформация кручения

В различных механизмах детали подвергаются влиянию разных сил, приводящих к возникновению деформаций. Далее рассмотрена деформация кручения: факторы и закономерности ее проявления, формирующие ее силы, особенности деформации изделий различной формы.

Деформация кручения

Основные понятия

Под кручением понимают вид деформации, свойственный для условий приложения к телу силы в поперечной плоскости. В результате этого в поперечном разрезе формируется крутящий момент. Деформациям кручения подвергаются валы и пружины.

Валом называют функционирующую на кручение вращающуюся деталь в виде стержня.

Под торсионом понимают функционирующий на кручение стержень, применяемый в качестве упругого элемента.

Для круглых валов, наиболее обширно применяемых в технике, разработана теория кручения. Она основана на трех положениях:

  • После деформации сохраняется плоское поперечное сечение детали.
  • При деформации радиусы, проходящие поперек детали, не искривляются и проворачиваются на равный угол.
  • При деформации продольные волокна сохраняют размеры, следовательно, разделяющие поперечные сечения расстояния неизменны.

Определение деформации кручения

Из приведенных положений следует, что кручение представлено деформацией сдвига материала между соседними поперечными сечениями, обусловленной проворотом последних вокруг оси.

Деформациями при кручении считают взаимный проворот сечений. Они формируются вследствие воздействия на стержень пар сил с перпендикулярными к его продольной оси плоскостями действия.

Величина деформаций описывается углом закручивания. Под полным понимают угол поворота свободного конца. Относительным считают значение для определенной длины вала. Данные параметры рассчитывают с учетом прочности и жесткости деталей.

Угол закручивания стержня цилиндрической конфигурации в границах упругих деформаций определяется уравнением закона Гука для кручения, представляющего отношение произведения момента и длины вала к произведению геометрического полярного инерционного момента и модуля сдвига.

Относительный угол закручивания вычисляют как частное угла закручивания и длины стержня.

Под вращающими либо скручивающими моментами понимают показатели пар сил, воздействующих на вал. Их подразделяют на внешние, называемые вращающими и скручивающими, и внутренние (крутящие). Под влиянием перпендикулярных продольной оси бруса внешних крутящих моментов формируются внутренние. Они передаются на деталь в точках установки шкивов ременных передач, зубчатых колес и т. д.

Крутящий момент представлен силовым фактором, обуславливающим круговое передвижение сечения относительно перпендикулярной ему оси или препятствующим ему. Его значение равно сумме скручивающих усилий по одну сторону от данной точки. Положительными считают внутренние моменты, направленные против часовой стрелки со стороны внешней нормали (отброшенной части). При этом соответствующий внешний момент имеет направление, совпадающее с ходом часовой стрелки.

Основные понятия деформации кручения

Условия прочности и жесткости применяют для решения следующих задач:

  • Выполнения проверочного расчета данных условий для конкретных значений крутящего момента и валов определенного размера и материала.
  • Выполнения проектировочного расчета для вычисления диаметров и нахождения большего из них.
  • Определения грузоподъемности вала путем вычисления крутящего момента из обоих условий и нахождения меньшего из них.

Под эпюрой крутящих моментов понимают график, отображающий закон их изменения по длине либо сечению детали.

При разделении детали по длине на три участка в соответствии с методом сечений получится, что для первого (правого) фрагмента наблюдается линейная зависимость крутящего момента от координаты сечения ввиду влияния равномерно распределенной нагрузки, для второго и третьего участков данная зависимость отсутствует. При этом в точках приложения внешних сосредоточенных усилий наблюдаются скачки, соответствующие их величине.

Читайте также:  Регулятор напряжения генератора для форд эскорт

В сечении наблюдается линейное изменение, определяемое законом касательных напряжений, в прямой зависимости от расстояния от центра.

Таким образом, в продольном разрезе наибольшие деформации кручения характерны для точки, наиболее удаленной от места закрепления детали. В поперечном разрезе максимальные деформации кручения наблюдаются на поверхности.

Полярный инерционный момент сечения представляет собой геометрическую характеристику жесткости при кручении для круглого вала. Полярный момент сопротивления сечения является аналогичным параметром для его прочности.

Закон Гука при кручении Условие прочности при кручении

Следует отметить, что большинство приведенных выше понятий описывается с применением формул.

Напряжения кручения

Исходя из приведенного выше определения деформации кручения, при данном процессе в поперечном сечении наблюдаются лишь касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам. Их определяют для конкретной точки как произведение соотношения крутящего момента к геометрическому полярному инерционному моменту и расстояния данной точки от оси кручения.

Изменение касательных напряжения линейно, и максимальной величины они достигают на поверхности при наибольших значениях крутящего момента и расстояния от оси кручения, поэтому ее значение вычисляют как частное наибольшего крутящего и полярного моментов сопротивления.

Сдвиг и кручение

С применением данного условия возможно вычислить прочие параметры: по силовым факторам, создающим крутящий момент – показатель сопротивления и далее размеры сечения в зависимости от формы, либо по размеру сечения – максимально допустимое для него значение крутящего момента и на основе последней допустимые значения внешних нагрузок.

Касательные напряжения, по закону парности, формируются при кручении как в поперечных, так и в продольном направлениях. Вследствие этого во всех точках вала наблюдается деформация в виде чистого сдвига. Главные напряжения направлены к образующей под углом 45°.

Помимо скручивающих усилий возможно воздействие на вал моментной нагрузки.

Из изложенных выше данных следует, что удаление материала в районе оси вала незначительно сказывается на прочности ввиду того, что данная часть мало нагружена. При равных площади сечения и массе деталей кольцевые варианты характеризуются большими полярными моментами сопротивления и инерции по сравнению со сплошными валами. То есть при равной массе полые варианты прочнее и жестче, а при одинаковых показателях прочности и жесткости легче. Названные параметры определяют устойчивость данных изделий к деформации.

Выше были рассмотрены особенности деформации кручения круглых в поперечном разрезе предметов. Для треугольных, прямоугольных, эллиптических и прочих вариантов не применима гипотеза плоских сечений. Это обусловлено тем, что поверхности данного типа при кручении искривляются. Данный процесс их коробления вследствие смещения отдельных точек при деформации вдоль оси называют депланацией. Вследствие этого методы сопротивления материалов для вычисления кручений и напряжений неприменимы. Вместо них используют методы теории упругости.

Для изделий произвольной поперечной формы касательные напряжения имеют направление по касательной к контуру, однако при наличии внешних углов они отсутствуют. Так, при разложении напряжения вблизи угла по нормалям к его сторонам надвое из закона парности следует формирование касательных напряжений на свободной поверхности. Однако в данном случае она свободна от нагрузки, поэтому у внешнего угла касательные напряжения обнуляются.

Для наиболее распространенных среди вариантов некруглого сечения прямоугольных валов наибольшие напряжения характерны для поверхностных участков в середине длинных сторон. Следовательно, там наблюдается наибольшая деформация кручения.

Напряжение при кручении

Прямоугольные детали в сравнении с круглым характеризуются значительно меньшими жесткостью и прочностью. Причем это отличие увеличивается с ростом отношения сторон. Следовательно, они более подвержены деформации.

Источник