Нормальные напряжения при изгибе
Для того, чтобы от внутренних сил перейти к напряжениям, необходимо распределить внутреннюю силу Q и внутренний момент M по поперечному сечению так, чтобы это распределение соответствовало реальной картине изгиба, наблюдаемой в опыте.
Вспомним, что момент M является результирующей нормальных напряжений в сечении (при отсутствии осевой нагрузки), а сила Q является результирующей касательных напряжений. Из этого можно сделать вывод, что в общем случае изгиба в сечении будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. То есть сечения изгибаемой балки будут как поворачиваться друг относительно друга, так и сдвигаться.
Следуя принципу «от простого к сложному», давайте сначала рассмотрим случай изгиба, когда в сечениях отсутствует сила Q, т.е. случай чистого изгиба.
Для того, чтобы правильно распределить момент M по сечению и разложить его на составляющие напряжения, можно для удобства рассмотреть изгиб бруса прямоугольного поперечного сечения.
До нагружения на боковой грани этого бруса нарисуем прямоугольник и нагрузим брус так, чтобы добиться чистого изгиба. После деформации нарисованный прямоугольник mmpp поменяет свою форму, как это показано ниже:
Допустим, что боковые линии mm и pp остались прямыми и на основе этой гипотезы (гипотезы плоских сечений) построим теорию изгиба.
Если замерить длину внешнего «волокна» ss’ и сравнить её со соответственной длиной ss1 в недеформированном прямоугольнике, то можно обнаружить, что длина «волокна» увеличилась (в дальнейшем под «волокном» будем понимать условную полосу материала с бесконечно малой площадью поперечного сечения).
Если же рассмотреть внутреннее волокно (на рисунке сверху), то можно обнаружить, что там имеются аналогичные деформации, только не растяжения, а сжатия.
Где-то посередине между ними есть такое волокно nn1, длина которого осталась неизменной.
Чтобы от абсолютной деформации перейти к относительной, надо абсолютную деформацию поделить на исходную длину:
Если обозначить через r радиус кривизны изогнутой оси балки, то можно выделить два подобных треугольника: ∆nOn1 и ∆s1n1s’. Если обозначить расстояние волокна s’s1 до нейтрального слоя nn1 за y, то полученное выше относительное удлинение можно выразить через y и r:
Отсюда можно получить напряжения, вызывающие такие относительные деформации:
На основе многочисленных опытов было получено, что распределение напряжений по высоте сечения будет линейным и будет зависеть от расстояния до нейтральной оси nn – чем ближе к нейтральной оси расположено волокно, тем меньше напряжения будут в нём; и чем дальше от нейтральной оси расположено волокно, тем больше напряжения будут в нём. Только для этого должно соблюдаться условие – материал при изгибе работает в пределах пропорциональности и упругости, т.е. выполняется закон Гука. Также на основе опытов выяснилось, что напряжения в сечении не меняются в направлении, параллельном nn.
Зная напряжения в любом месте сечения, можно задаться малой площадкой dF и получить действующую в ней силу:
Момент этой силы относительно нейтральной оси равен:
Если просуммировать такие моменты по площади сечения, то можно получить внутренний момент M:
Для нахождения действующих напряжений можно из формул:
выразить радиус кривизны и приравнять оба выражения:
Отсюда можно получить выражение для напряжений в любом интересующем месте сечения:
Если же суммировать не моменты, а силы по площади, то тогда получается следующее:
Так как по одну сторону от нейтральной оси действует растяжение, а по другую сторону сжатие, то сумма этих напряжений по всей площади должна дать ноль:
Данный интеграл – это статический момент площади поперечного сечения. Если статический момент относительно какой-то оси равен нулю, то эта ось проходит через центр тяжести сечения.
Возвратимся к выражению для напряжений:
Выражение в знаменателе – это момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси nn. Обычно этот интеграл обозначают как I или J. Также указывают индексы, указывающие, относительно чего берётся такая сумма (например, оси координат y, z и т.д.). Формула для нахождения напряжений принимает вид:
Для решения практических задач выведены формулы моментов инерций для самых разных типов поперечных сечений, которые можно найти в соответственных учебниках и справочниках, однако будет полезным самостоятельно вывести формулы для некоторых простейших сечений.
Давайте выведем формулу момента инерции относительно оси z для прямоугольного сечения с высотой h и шириной b:
Выделим элемент с шириной b и малой высотой dy, который отстоит от оси z на расстоянии y и просуммируем произведение квадрата расстояния и площади элемента по всей высоте прямоугольника (от –h/2 до h/2).
Теперь определим момент инерции для круглого сечения.
Момент инерции подсчитывается по следующей формуле:
Для решения этого интеграла в случае круглого сечения есть два подхода:
- С использованием декартовой системы координат
- С использованием полярной системы координат
Если решать интеграл для круга по аналогии с прямоугольником, то можно поделить его на полосы толщиной dy, расположенных на расстоянии y от оси z; длину их выразить через R и y через теорему Пифагора и затем просуммировать произведение по высоте y.
Здесь dF можно представить как:
Если решать данный интеграл, то получается слишком громоздкое решение с не вполне красивым ответом.
Это решение логически более последовательно и понятно для данного курса, однако, с другой стороны, оно настолько громоздко, что мы воспользуемся полярной системой координат, используя бесконечно малые dr (суммируя по радиусу) и dα (суммируя по окружности).
Выделим элементарную площадку dF, расположенную под углом α к Oz и на расстоянии r от начала координат. Элементарная площадка отложена малым углом dα и малым радиусом dr:
Для того, чтобы использовать интеграл момента инерции, распишем понятия y и dF:
Так как обе половину сечения одинаковы, то можно провести суммирование лишь для верхней части и результат удвоить:
упростим выражение, используя формулу косинуса двойного угла:
Если проанализировать формулу для момента инерции, то можно обнаружить, что наиболее полезным для изгиба будет такое сечение, у которого площадь максимально разнесена от нейтральной оси. В этом смысле получается, что круглое сечение – плохое сечение для восприятия изгиба, так как вся его площадь расположена близко к нейтральной оси. Однако круглое сечение можно модифицировать, если убрать его центральную часть, оставив только площадь по краям. Иными словами, перейти к кольцевому сечению (трубе).Для определения напряжений в трубе справедлив тот же подход, что и в балке круглого сечения. Единственное, что поменялось – это подсчёт момента инерции.
Если принять за r2 внешний радиус, а за r1 – внутренний, то тогда в подсчёте момента инерции изменятся границы суммирования по радиусу:
Но, тем не менее, даже кольцевое сечение не является идеальным распределением площади для восприятия изгиба, так как по-прежнему значительная часть площади располагается у нейтральной оси. Идеальным было бы сделать сечение в виде двух прямоугольников, максимально разнесённых от нейтральной оси z:
Однако в данном случае получается, что они не соединены друг с другом. Соединить их можно многими способами, но наиболее часто встречающиеся:
Левое сечение – коробчатое, правое сечение – двутавр. Данные фигуры – сложные, т.к. по сути составлены из нескольких прямоугольников.
Так как момент инерции площади – это, по сути, большой многочлен, каждое слагаемое которого представляет собой произведение площадки на квадрат расстояния до нейтральной оси, то момент инерции, например, коробчатого сечения можно представить как разность момента инерции внешнего и внутреннего прямоугольника:
Для такого подхода необходимо, чтобы оси z1 и z2 совпадали, как это показано на рисунке:
Момент инерции сечения двутавра, показанного на рисунке ниже, можно подсчитать по аналогии: из момента инерции большого прямоугольника вычитается суммарный момент инерции двух «пустот».
Формулы выше получены способом сложения/вычитания моментов инерции, однако в общем случае важно понимать, что нельзя просто суммировать или вычитать моменты инерции, подобно площади, так как помимо собственно площади в формуле фигурирует расстояние от этой площади до нейтральной оси. И в случае сечений, имеющих, например, только одну плоскость симметрии (например, двутавр с полками разной ширины, см. рисунок ->), решение способом, изложенным выше, приведёт к неправильному ответу.
Если посмотреть на формулу для нормальных напряжений:
то можно заметить, что и y, и Iz зависят от размеров сечения. В практических задачах чаще всего интересуют те «волокна» материала, которые наиболее удалены от нейтральной оси и в которых действуют наибольшие нормальные напряжения.
Логически напрашивается ввод новой величины, объединяющей обе:
В сопромате эту величину принято называть моментом сопротивления сечения.
Как и момент инерции Iz, момент сопротивления W является характеристикой сечения, и, с одной стороны, им удобнее пользоваться при подборе сечений, но, с другой стороны, это менее «гибкая» величина, и ей нельзя оперировать при определении характеристик сложных сечений, как, например, в формуле для симметричного двутавра, где использовалась величина момента инерции.
Источник
Решение. Максимальное нормальное напряжение
Максимальное нормальное напряжение 
определяется по формуле:
где – площадь трубы:
Абсолютное и относительное укорочения стойки определяем по формулам:
Знак «минус» обозначает уменьшение размера (укорочение).
Стальной стержень круглого сечения растягивается усилием 
. Относительное удлинение не должно превышать 
, а напряжение – 
. Найти наименьший диаметр, удовлетворяющий этим условиям, если модуль упругости стали .
Как и ранее, решение задачи начинается с изображения расчетной схемы и построения эпюра продольных сил (рис. 2.14).
По условию задачи напряжение не должно превышать , в связи с чем данная величина может быть принята за расчетное сопротивление материала стойки на растяжение, то есть . По аналогии заданное относительное удлинение можно принять за предельно допустимое для данной стойки, то есть . В результате необходимо подобрать диаметр стойки, удовлетворяющий условию прочности и условию жесткости.
Продольное растягивающее усилие равно по величине внешней нагрузке, действующей на стержень
Требуемая площадь поперечного сечения колонны из условия прочности будет определяться выражением:
Зная требуемую площадь, выразим необходимый из условия прочности диаметр:
Условие жесткости при центральном растяжении-сжатии:
Выражаем из предельного неравенства требуемую из условия жесткости площадь поперечного сечения:
Диаметр стойки из условия жесткости определим по формуле:
Окончательно принимаем из двух диаметров больший, 
Определить грузоподъемность и удлинение балки, если .
Расчетная схема бруса и эпюра продольных сил изображены на рис. 2.15.
Грузоподъемность бруса – это максимальная нагрузка, которую он может выдержать, не разрушаясь. Таким образом, необходимо определить требуемую нагрузку из условия прочности:
Согласно эпюре , тогда условие прочности примет вид:
Отсюда грузоподъемность бруса будет равна:
Для определения удлинения стержня 
разбиваем его на участки. Каждый участок, должен иметь постоянную жесткость и величину продольной силы. Таким образом, для данного бруса получаем три участка (на рис. 2.15 они обозначены римскими цифрами), тогда абсолютная деформация в общем виде будет определяться выражением:
в котором каждое слагаемое определяется отдельно:
где 
— значения продольных сил соответственно на первом, втором и третьем участках; 
— длины соответственно первого, второго и третьего участков; 
— значения модулей упругости материалов бруса для каждого участка; 
— площади поперечных сечений стержня на первом, втором и третьем участках.
Поскольку жесткости всех трех участков одинаковые (балка изготовлена из одного материала и имеет постоянное по всей длине поперечное сечение), можно обозначить и вынести этот множитель за скобки. В результате получим выражение в виде:
где 
, , 
, 
, 
.
Источник
Как определить нормальное напряжение?
Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 02.02.2016 · Обновлено 28.11.2017
Сегодня будем говорить о том, как определить нормальное напряжение при растяжении (сжатии). Долго говорить не придется, так как определяется оно элементарно.
Формула для нахождения нормального напряжения следующая:
То есть это отношение продольной силы (N) к площади поперечного сечения (A), на которой действует эта сила.
Пример определение нормальных напряжений
Посмотрим, как на практике пользоваться этой формулой. Например, возьмем брус с постоянным поперечным сечением, на который действует кучка внешних сил. Вас просят найти максимальное нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса.
Ваша тактика будет такой: Сначала нужно определить продольные силы и по-хорошему построить эпюру, чтобы видеть наиболее опасное сечение, то есть сечение, в котором внутренняя сила максимальная.
В нашем случае продольную силу берем равной трем килоньютонам и делим на площадь поперечного сечения:
Итого получили максимальное напряжение равное 15 мегапаскалям, что для стального бруса совсем пустяк.
Источник