Меню

Формула журавского для определения касательных напряжений при поперечном изгибе

Изгиб.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .

деформация изгиба

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

правило знаков для поперечных сил

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

правило знаков для изгибающих моментов

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки и изгибающим моментом

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

общие закономерности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок, равный значению этой силы, а на эпюре М —точка перелома (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение Mmax или Mmin (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

нормальные напряжения при изгибе

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

момент сопротивления сечения изгибу

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Читайте также:  U50 разрядное напряжение это

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

формула журавского

где S отс — статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

проверочный расчет на прочность при изгибе

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

проектный расчет на прочность при изгибе

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

допускаемый изгибающий момент

Далее по полученному значению [Mx] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [Mвнеш]. Условие прочности имеет вид:

допускаемые значения внешних поперечных нагрузок и внешних изгибающих моментов

Перемещения при изгибе.

Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие — на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:

Прогиб балки Y — перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

механизм деформации балки при изгибе

Угол поворота сечения — угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).

угол поворота сечения

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов Мf от приложенной нагрузки и М1 — от единичной нагрузки.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

интеграл мора

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

правило верещагина

где Af – площадь эпюры изгибающего момента Мf от заданной нагрузки; yc – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мf ; EIx – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (Af*yc) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра Мf должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Читайте также:  Трансформатор напряжения 10кв для учета

Источник

Формула Журавского для касательных напряжений

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Формула Журавского для касательных напряжений:

,

где Q — поперечная сила; S * x — статический момент отсечённой части поперечного сечения относительно оси х , F * — площадь отсечённой части поперечного сечения, y c — расстояние от центра отсечённой части поперечного сечения до оси х , J x — главный осевой момент инерции полного сечения, b y — ширина сечения в той точке, для которой находится напряжение.

Из формулы следует, что касательные напряжения меняются по высоте сечения в соответствии с параболической зависимостью, причём максимальные значения, представляющие интерес, наблюдаются на нейтральной линии, проходящей через центр площади сечения.

Например, для прямоугольного сечения b­ × h (b , h — ширина и высота сечения соответственно):

,

.

Для круглого поперечного сечения радиуса R :

,

.

В качестве примера ниже представлены распределения касательных напряжений для прямолинейных балок постоянных прямоугольного ( b = 2 см, h = 4 см) и круглого поперечных сечения при Q = 10 кН. Красная линия на рисунках соответствует напряжениям в круглом сечении, синяя — в прямоугольном. На левом рисунке сравниваются балки одинаковой массы, на правом — одинакового момента сопротивления изгибу.

Источник



7.6. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе

7.6. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе
Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе
Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе

7.6. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

От поперечной силы Qy в поперечном сечении возникают касательные напряжения τу. Для их определения приняты следующие гипотезы. Касательные напряжения τу параллельны поперечной силе Qy и соответственно оси 0у. Касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения на любом уровне их определения, задаваемом ординатой у. Для определения нормальных напряжений используют выражения, выведенные для случая чистого изгиба. Д. И. Журавским предложена формула где Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении; – статический момент площади отсеченной части сечения относительно центральной оси; b – ширина сечения на уровне исследуемой точки; Iz – момент инерции сечения относительно центральной оси. Знак касательных напряжений τу определяется знаком поперечной силы Qy. Пример 7.3. Построить эпюру τ для прямоугольного сечения. Момент инерции сечения Статический момент площади отсеченной части сечения S′z изменяется по параболической зависимости (координата у во второй степени) и определяет характер изменения напряжения τ: При у = 0 (на нейтральной оси) При у = h/2 (на периферии) τ = 0. Пример 7.4. Построить эпюру τ для круглого сечения. О влиянии касательных напряжений Касательные напряжения переменны по высоте, вызывают искривление поперечного сечения, причем в тем большей степени, чем больше τ, то есть в центральной части сечения больше, на периферии – меньше. Следовательно, гипотеза плоских сечений, на которой основывался вы- вод формулы нормальных напряжений, неприменима. Однако это искривление почти не отражается на продольных деформациях волокон, что позволяет пользоваться формулой y σ= z и при наличии поперечной силы. Пример 7.5. Оценить соотношение нормальных и касательных напряжений при поперечном изгибе. Для консольной балки прямоугольного сечения максимальные нормальные напряжения а максимальные касательные Сопоставив эти напряжения, получим Аналогичное соотношение для круглого поперечного сечения: Вывод: касательные напряжения в длинных (ℓ > 5h) балках существенно меньше нормальных. Отметим, что σmax и τmax действуют в разных точках сечения: σmax на периферии, в точках наиболее удаленных от нейтральной оси, где τ = 0; τmax – в центре, на нейтральной оси, где σ = 0. Для приведенного выше примера в опасном сечении (в защемлении) эпюры распределения нормальных и касательных напряжений показаны на рисунке. По мере укорочения длины пролета или участка балки роль момента, а, следовательно, и нормальных напряжений, снижается (в рассмотренном примере М зависит от длины, а Q – постоянна). Превалирующими в этом случае могут оказаться касательные напряжения. В сложившейся практике подбор размеров поперечного сечения выполняют по максимальным нормальным напряжениям (как при чистом изгибе), а проверку прочности проводят по максимальным касательным. В двутавровом сечении балки опасным может оказаться точка К в сопряжении стойки с полкой, где действуют достаточно большие и нормальные, и касательные напряжения: Здесь координату точки К и статический момент отсеченной части площади А′ (на рис. 7. 6 заштрихована) находят как Эквивалентные напряжения в точке К вычисляют по теориям прочности. Линия 1 на эпюре касательных напряжений отражает закон распределения τ, рассчитанных для ширины сечения d, а линия 2 – ширины сечения b. Размеры отличаются примерно в 20 раз, чем и обусловлен скачок напряжений τ в окрестности точки К.

Читайте также:  Какие напряжения называют линейными какие фазными

Источник