Меню

Формула ясинского для критической силы сжатого стержня применима если критическое напряжение

Формула ясинского для критической силы сжатого стержня применима если критическое напряжение

Показать все вопросы

  1. ? напряжения в поперечных сечениях достигают предела пропорциональности
  2. ? напряжения в поперечных сечениях достигают предела текучести
  3. ? прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой
  4. ? напряжения в поперечных сечениях достигают предела упругости
    1. ? проходящей через ось стержня и ось с минимальным моментом инерции поперечного сечения
    2. ? проходящей через ось стержня и ось с максимальным моментом инерции поперечного сечения
    3. ? проходящей через ось стержня и ось, составляющую 45° с осью с максимальным моментом инерции поперечного сечения
    4. ? проходящей через ось стержня и ось, составляющую 45° с осью с минимальным моментом инерции поперечного сечения
    1. ? всегда меньше предела пропорциональности
    2. ? всегда меньше предела упругости
    3. ? всегда меньше предела текучести
    4. ? всегда больше предела пропорциональности
    1. ? не превышает предел текучести
    2. ? превышает предел текучести
    3. ? превышает предел пропорциональности
    4. ? не превышает предел пропорциональности
    1. ? кручения
    2. ? сдвига
    3. ? растяжения-сжатия
    4. ? растяжения-сжатия и сдвига
    1. ? всегда меньше предела пропорциональности
    2. ? всегда меньше предела упругости
    3. ? всегда меньше предела прочности
    4. ? всегда больше предела пропорциональности
    1. ? превышает предел упругости
    2. ? превышает предел текучести
    3. ? превышает предел пропорциональности
    4. ? не превышает предел пропорциональности
    1. ? материала стержня
    2. ? формы поперечного сечения стержня
    3. ? способа закрепления стержня
    4. ? величины приложенной силы
    1. ? Журавского
    2. ? Эйлера
    3. ? Гука
    4. ? Сен-Венана
    1. ? больше 50
    2. ? больше 100
    3. ? меньше 100
    4. ? меньше 50
    1. ? значением гибкости стойки
    2. ? значением гибкости и формой поперечного сечения стойки
    3. ? значением гибкости и материалом стойки
    4. ? значением гибкости и способом закрепления стойки
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ? жесткостью
    2. ? гибкостью
    3. ? податливостью
    4. ? коэффициентом продольного изгиба
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ? 120 кН
    2. ? 124 кН
    3. ? 128 кН
    4. ? 132 кН
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
    1. ? 450 кН
    2. ? 440 кН
    3. ? 420 кН
    4. ? 430 кН
    1. ?
    2. ?
    3. ?
    4. ?
  • Источник

    Техническая механика

    Сопротивление материалов

    Расчеты на устойчивость при продольном изгибе

    Понятие продольного изгиба

    Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

    Расчеты на прочность и жесткость, выполняемые для большинства видов деформаций основываются на предположении, что между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы.
    Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние), называют критическими нагрузками.

    Примером явления продольного изгиба может послужить длинная школьная линейка, к одному из концов которой приложена сжимающая сила. Сначала материал линейки сопротивляется нагрузке, и линейка работает, как обычный сжимаемый брус. Затем, по достижении определенной нагрузки, линейка начинает прогрессирующе изгибаться без существенного увеличения сжимающей силы и теряет устойчивость (т. е. гнется без заметных усилий вплоть до поломки).

    Явление продольного изгиба можно объяснить тем, что к реальному стержню практически невозможно применить основные гипотезы и допущения сопромата — об однородности, изотропности и непрерывности материала. Поэтому при продольном сжатии стержня, даже если сжимающая сила приложена идеально вдоль его оси (что тоже на практике нереально), отдельные волокна этого стержня неодинаково сопротивляются сжатию (из-за неоднородности и анизотропии материала, из которого он изготовлен). В результате, при достижении сжимающей силой критической величины, стержень начинает изгибаться в сторону наименьшего сопротивления волокон.
    На практике этому способствует, также, приложение нагрузки не строго вдоль центральной оси сечения. По мере увеличения изгиба и потери стержнем устойчивости возрастают изгибающие нагрузки, поскольку, чем сильнее изгибается стержень, тем дальше от его оси отклоняется линия действия сжимающей силы, образуя возрастающий момент изгиба. По этой причине стержень изгибается все сильнее даже при небольшом возрастании сжимающей силы (прогрессивно растет плечо изгибающего момента этой силы).
    В конечном итоге стержень теряет устойчивость, что чаще всего сопровождается его поломкой или неупругой деформацией (безвозратной потерей прямолинейности или начальной формы).

    Читайте также:  Стабилизатор напряжения 10 киловаттный

    Если предположить, что материал стержня идеально соответствует принимаемым в сопромате допущениям и гипотезам, а сжимающая сила приложена строго к центру тяжести сечения вдоль оси стержня, то такой стержень будет работать на простое сжатие, и разрушится не из-за потери устойчивости, а из-за превышения предельных прочностных характеристик для сжатия. Если же стержень имеет сечение в виде сложной фигуры, то решающую роль при потере устойчивости играет отклонение продольной нагрузки от главной центральной оси этой фигуры.

    Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструкций, стержней, пластинок и оболочек.

    Рассмотрим тонкий стальной стержень, длина которого значительно больше поперечных размеров, сжимаемый силой F, немного большей критической силы F кр (см. рисунок 1).

    Применяя метод сечений, убеждаемся, что в результате искривления оси в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора – продольная сила N = F и изгибающий момент М и.

    Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба.

    При сжимающих силах, даже немного превышающих критическую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние конструкции считается недопустимым.

    Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы действующая на стержень сжимающая сила F была меньше критической F кр. Обозначим допускаемую сжимающую силу [F], тогда:

    где: [s y] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

    Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если [s y] > 1.

    Значение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Обычно для сталей [s y] = 1,8….3; для чугунов [s y] = 5….5,5; для дерева [s y] = 2,8….3,2.

    Формулы Эйлера и Ясинского для расчетов стержней на устойчивость

    Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707-1783 г.г.). В дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального следования вопросов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским (1856-1899 г.г.), опубликовавшим в 1893 году научную работу «Опыт развития продольного изгиба».

    Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707 — 1783) — выдающийся ученый, которого в разных источниках называют швейцарским, немецким и российским. Математик, физик, астроном и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих и ряда других прикладных наук.
    Эйлер — автор более чем 850 научных работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.
    Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

    Читайте также:  Номинальное напряжение контактора это

    Л. Эйлер почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года и до конца жизни был академиком Петербургской академии наук. С 1741 по 1766 год работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии).
    Превосходно знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.
    Некоторые из потомков Л. Эйлера до сих пор живут в России.

    Л. Эйлером была предложена формула для определения величины критической силы F кр, которая приводится здесь без вывода:

    F кр = π 2 ЕI min / l п 2 ,

    где: Е – модуль упругости первого рода; I min — наименьший из осевых моментов инерции сечения, поскольку искривление происходит в плоскости наименьшей жесткости; l п – приведенная длина стержня, которая может быть определена по формуле:

    где: l – длина стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.

    Наиболее часто встречающиеся способы закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента приведения длины представлены на рисунке 2.

    Вывод формулы Эйлера основан на известном законе Гука, который справедлив лишь до предела пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользоваться не всегда.
    Для определения пределов применимости формулы Эйлера определим критическое напряжение σ кр, т. е. напряжение, которое возникает в поперечном сечении площадью А стержня при достижении критической силы:

    σ кр =F кр / А = π 2 ЕI min /[(μl 2 )A].

    Определим наименьший радиус инерции i min поперечного сечения стержня:

    i min = √(I min / A) (здесь √ — знак квадратного корня).

    Перепишем формулу для σ кр так:

    σ кр = π 2 Е / (μl / i min 2 ).

    Введем понятие гибкости стержня: λ = μl / i min. Это безразмерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепления его концов. Окончательно получим:

    σ кр = π 2 Е / λ 2 .

    Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия:

    σ кр = π 2 Е / λ 2 ≤ σ пц,

    где: σ пц – предел пропорциональности материала стержня. Следовательно, должно быть

    λ ≥ √( π 2 Е / σ пц) = λ пред (здесь √ — знак квадратного корня).

    Величину, стоящую в правой части неравенства, называют предельной гибкостью. Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.
    Условие применимости формулы Эйлера можно записать так: λ ≥ λ пред, т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости. Так, для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость λ ≥ 100.

    В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского:

    Читайте также:  Как правильно подключать стабилизаторы напряжения

    где: а и b – коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников.

    Если стержень имеет гибкость λ ≤ 40, то его можно рассчитывать на простое сжатие по формуле σ с = F / А.

    Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость

    Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стержней – проектный, проверочный и силовой.

    Проектный расчет заключается в определении минимального осевого момента инерции поперечного сечения стержня по формуле:

    I min = F[s y](μl) 2 / (π 2 E),

    где: F — действующая нагрузка; [s y] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости; μ – коэффициент приведения длины стержня; l – длина стержня; Е – модуль продольной упругости.

    Далее находят гибкость стержня по формуле: λ = μl / i min,

    где: i min = √(I min / A), (А – площадь сечения стержня).

    Полученную гибкость сравнивают с предельной для данного материала.

    Проверочный расчет заключается в определении действительного коэффициента запаса устойчивости s y и сравнении его с допускаемым:

    Силовой расчет заключается в определении допускаемой нагрузки [F] по формуле:

    Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие. При расчете применяют следующую формулу:

    где: [σ с] – допускаемое напряжение на сжатие; φ – коэффициент продольного изгиба (справочная величина, определяемая по таблицам).

    Расчеты показывают, что при продольном изгибе наиболее выгодными являются кольцевые и коробочные тонкостенные сечения, имеющие относительно большой момент инерции.

    Источник

    

    Научная электронная библиотека

    Лекция 13. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

    Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского.

    Как показали опыты, решение Эйлера подтверждается не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

    5094.png(30)

    Из (30) следует, что напряжение 5101.pngвозрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

    Формула Эйлера неприемлема, если напряжения

    5108.png,

    где 5116.png– предел пропорциональности. Приравнивая (30) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

    5125.png

    Если λ > λпред , то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя. Для стали Ст. 3 – lпред = 100.

    В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. В связи с этим, в таких случаях пользуются эмпирическими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

    где a, b – постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст. 3 a = 3,1•10 5 кН/м2, b = 11,4•10 2 кН/м2.

    При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0

    Источник