Меню

Формула ясинского для критического напряжения сжатого стержня применима для

Расчет критического напряжения по формуле Ф. О. Ясинского для стальных стержней

date image2015-05-14
views image2876

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Критическое напряжение определяется по формуле σкр = α — , где а и b — коэффициенты, зависящие от материала; их значения представлены в таблице.

На рис. 36.4 представлена зависимость критического напряже­ния от гибкости стержня.

Для стержней малой гибко­сти проводится расчет на сжатие

.

Для стержней средней гибкости расчет проводят по форму­ле Ясинского σкр = α..

Для стержней большой гибкости расчет проводят по формуле Эйлера

Критическую силу при расчете критического напряжения по формуле Ясинского можно определить как

Контрольные вопросы и задания

1. Какое равновесие называется устойчивым?

2. Какие брусья следует рассчитывать на устойчивость?

3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критиче­ской?

4. Напишите формулу Эйлера для расчета критической силы и назовите входящие величины и их единицы измерения.

5. Что называют гибкостью стержня, какой смысл заложен в этом названии? Назовите категории стержней в зависимости от гиб­кости.

6. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?

7. При каких условиях можно использовать формулу Эйлера для расчета критической силы?

8. В чем заключается расчет сжатого стержня на устойчивость? Напишите условие устойчивости. Чем отличается допускаемая сжи­мающая сила от критической?

Источник

Расчет критического напряжения по формуле Ф. О. Ясинского для стальных стержней

Материал σ, МПа b, МПа λ 0 λ пред
Сталь Ст2 Сталь Ст3 Сталь 20, Ст4 Сталь 45 Дюралюмин Д16Т Сосна, ель 29,3 0,70 1,14 1,15 1,67 1,83 0,194

Критическое напряжение определяется по формуле σ кр = а — bλ. где а и b — коэффициенты, зависящие от материала; их значения представлены в таблице.

На рис. 36.4 представлена зависимость критического напряже­ния от гибкости стержня.

Рис. Для стержней малой гибко­сти проводится расчет на сжа­тие σ сж≤[σ] сж. Для стерж­ней средней гибкости расчет проводят по формуле Ясинского σ кр = а — bλ. Для стержней большой гиб­кости расчет проводят по фор­муле Эйлера σ кр = π 2 Е / λ 2 . Критическую силу при рас­чете критического напряжения по формуле

Ясинского можно определить как

.

Условие устойчивости: .

Контрольные вопросы и задания

1. Какое равновесие называется устойчивым?

2. Какие брусья следует рассчитывать на устойчивость?

3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критиче­ской?

4. Напишите формулу Эйлера для расчета критической силы и назовите входящие величины и их единицы измерения.

5. Что называют гибкостью стержня, какой смысл заложен в этом названии? Назовите категории стержней в зависимости от гиб­кости.

6. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?

7. При каких условиях можно использовать формулу Эйлера для расчета критической силы?

8. В чем заключается расчет сжатого стержня на устойчивость? Напишите условие устойчивости. Чем отличается допускаемая сжи­мающая сила от критической?

Читайте также:  Измерительная ячейка для определения пробивного напряжения

Тема 2.8. Сопротивление усталости

Иметь представление об усталости материалов, о кривой усталости и пределе выносливости.

Знать характер усталостных разрушений, факторы, влияю­щие на сопротивление усталости, основы расчета на прочность при переменном напряжение.

Многие детали машин работают в условиях переменных во вре­мени напряжений. Так, вращающиеся валы и оси, нагруженные по­стоянными изгибающими силами, работают при переменных нор­мальных напряжениях изгиба.

Совокупность последовательных значений переменных напря­жений за один период процесса их изменения называется циклом.

Обычно цикл представляют в виде графика, в котором по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат — напряжения (рис. 38.1).

Цикл характеризуется максимальным σ m ах, минимальным σ тт и средним напряжениями. Рассчитывается среднее значение напря­жений σ т, амплитуда цикла σ а и коэффициент асимметрии цикла R

; ;

Все приведенные определения и соотношения можно записать и для касательных напряжений.

Цикл, при котором максимальное и минимальное напряжения равны по величине и обратны по знаку, называют симметричным циклом (рис. 38.2).

Рис. Рис.

Остальные циклы называют асимметричными. Часто встреча­ется от нулевой, или пульсирующий, цикл, минимальное напряжение при этом цикле равно нулю, среднее напряжение равно амплитуде (рис. 38.3).

Переменные напряжения возникают в осях вагонов, рельсах, рессорах, валах машин, зубьях колес и многих других случаях.

Под действием переменных напряжений в материале возникает микротрещина, которая под действием повторяющихся напряжений растет в глубь изделия. Края трещины трутся друг о друга, и тре­щина быстро увеличивается. Поперечное сечение детали уменьшает­ся, и в определенный момент случайный толчок или удар вызывает разрушение.

Появление трещин под действием переменных напряжений на­зывают усталостным разрушением.

Усталостью называют процесс накопления повреждений в ма­териале под действием повторно-переменных напряжений.

Характерный вид усталостных разрушений — трещины и часть поверхности блестящая в изломе. Такой характер излома вызван многократным нажатием, зашлифованностью частей детали.

Опыт показывает, что усталостное разрушение происходит при напряжениях ниже предела прочности, а часто и ниже предела те­кучести.

Способность материала противостоять усталостным разруше­ниям зависит от времени действия нагрузки и от цикла напряже­ний. При любой деформации нагружение с симметричным циклом наиболее опасно.

Опытным путем установлено, что существует максимальное на­пряжение, при котором материал выдерживает, не разрушаясь зна­чительное число циклов.

Наибольшее (максимальное) напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца из данного ма­териала после любого большого числа циклов, называют пределом выносливости.

Для определения предела выносливости изготавливают серию одинаковых образцов и проводят испытания при симметричном ци­кле изгиба. Образцы имеют цилиндрическую форму, гладкую по­верхность (полированную) и плавные переходы.

Образцы устанавливают на испытательную машину и нагру­жают так, чтобы напряжение составляло примерно 80% от преде­ла прочности. После некоторого числа циклов образец разрушает­ся. Фиксируют максимальное напряжение и число циклов до разру­шения.

Испытания повторяют, постепенно снижая нагрузку на каждый последующий образец и фиксируя число циклов до разрушения образцов.

Читайте также:  Чему равно действующее напряжение сети

По результатам испытаний строят график зависимости между максимальным напряжением и числом циклов нагружений до раз­рушения. График называют кривой усталости (рис. 38.4). В боль­шинстве случаев после числа циклов нагружений более 10 7 кривая приближается к прямой, параллельной оси абсцисс.

п — число циклов нагружения; σ R — предел выносливости: σ -1 — предел выносливости при симметричном цикле (R = 1); σ 0 — предел выносливости при от нулевом цикле (R = 0); n баз — число циклов, при котором определяют предел выно­сливости (базовое число циклов). Если провести испытания при асимметричном цикле, кривая ля­жет выше, т. е. выносливость материала повысится. Рис.

Предел выносливости, определенный путем стандартных испытаний, является одной из механических характеристик материала.

Источник



Формулы Эйлера и Ясинского

Иркутский государственный университет путей сообщения

Лабораторная работа № 16

по дисциплине«Сопротивление материалов»

ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ

Кафедра ПМ

Лабораторная работа № 16

Опытное определение критических сил при продольном изгибе

Цель работы:исследование явления потери устойчивости сжатого стального стержня в упругой

стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых

стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими

Общие положения

Сжатые стержни недостаточно проверять на прочность по известному условию:

где [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня, P – сжимающая сила, F – площадь поперечного сечения.

В практической деятельности инженеры имеют дело с подвергающимися сжатию гибкими стержнями, тонкими сжатыми пластинами, тонкостенными конструкциями, выход из строя которых вызывается ен потерей несущей способности, а потерей устойчивости.

Под потерей устойчивости понимается потеря первоначальной формы равновесия.

В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость элементов конструкций, работа­ющих на сжатие.

Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 1), нагруженный осевой сжимающей силой P.

P Pкр

Рис. 1. Стержень, нагруженный осевой сжимающей силой P.

При малых значениях силы F стер­жень сжимается, оставаясь прямолинейным. Причем, если стержень отклонить от этого положения небольшой поперечной нагрузкой, то он изогнется, но при снятии ее стержень возвращается в прямолинейное состояние. Это значит, что при данной силе Pпрямолинейная форма равновесия стержня устойчива.

Если продолжить увеличивать сжимающую силу P, то при неко­тором ее значении прямолинейная форма равновесия становит­ся неустойчивой и возникает новая форма равновесия стержня — криволинейная (рис. 1, б). Вследствие изгиба стержня в его сече­ниях появится изгибающий момент, который вызовет дополнитель­ные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться.

Искривление длинного стержня, сжимаемого продольной силой, называется продольным изгибом.

Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямоли­нейная форма равновесия стержня устойчива, называется критичес­ким Pкр.

При достижении критической нагрузки происходит резкое каче­ственное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому критическая сила рассмат­ривается как разрушающая нагрузка.

Формулы Эйлера и Ясинского

Задачу определения критической силы сжатого стержня впер­вые решил член Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

Читайте также:  Оак при стенокардии напряжения

где Е модуль упругости материала стержня; Jmin — наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (поскольку искривление стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня повора­чиваются вокруг оси, относительно которой момент инерции ми­нимален, т.е. либо вокруг оси x, либо вокруг оси y);

(μ·l) – приведенная длина стержня, это произведение длины стержня l на коэффициент μ, зависящий от способов закреп­ления концов стержня.

Коэффициент μ называют коэффициентом приведения длины;его значение для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 2:

а— оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться;

б— один конец жестко защемлен, другой свободен;

в— один конец закреплен шарнирно, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

г один конец жестко защемлен, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

д— один конец заделан жестко, на другом шарнирно-подвижная опора;

е— оба конца жестко защемлены, но могут сближаться.

Из этих примеров видно, что коэффициент μпредставляет со­бой величину, обратную числу полуволн упругой линии стержня при потере устойчивости.

Рис. 2. Коэффициент μ для наиболее часто

встречающихся случаев закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим его исходя из формулы Эйлера:

Геометрическую характеристику сечения imin, определяемую по формуле

называют радиусом инерции сечения(относительно оси с Jmin). Для прямоугольного сечения

С учетом (3) формула (2) примет вид:

Отношение приведенной длины стержня к минимальному ра­диусу инерции его поперечного сечения по предложению профес­сора Санкт-Петербургского института инженеров путей сообще­ния Ф.С. Ясинского (1856—1899) называют гибкостью стержняи обозначают буквой λ:

В этой безразмерной величине одновременно отражаются такие параметры: длина стержня, способ его закрепления и характеристи­ка поперечного сечения.

Окончательно, подставив (5) в формулу (4), получим

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что материал стер­жня упруг и следует закону Гука. Следовательно, формулу Эйлера можно применять только при напряжениях, меньших предела про­порциональности σпц, т. е. когда

Этим условием определяется предел применимости формулы Эйлера:

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, называют предельной гибкостью:

ее значение зависит от физико-механических свойств материала стержня.

Для низкоуглеродистой стали Ст. 3, у которой σпц= 200 МПа, Е = 2·10 5 МПа:

Аналогично можно вычислить значение предельной гибкости для других материалов: для чугуна λпред = 80, для сосны λпред = 110.

Таким образом, формула Эйлера применима для стержней, гиб­кость которых больше или равна предельной гибкости, т. е.

λ λпред

Понимать это надо так: если гибкость стержня больше предельной гибкости, то критическую силу надо определять по формуле Эйлера.

Источник