Меню

Даны множества найти мощность объединения

Мощность множества: примеры. Мощность объединения множеств

Достаточно часто в математической науке возникает ряд трудностей и вопросов, причем многие ответы не всегда проясняются. Не исключением стала такая тема, как мощность множеств. По сути, это не что иное как численное выражение количества объектов. В общем смысле множество является аксиомой, у него нет определения. В основе лежат любые объекты, а точнее их набор, который может носить пустой, конечный или бесконечный характер. Кроме этого, он содержит числа целые или натуральные, матрицы, последовательности, отрезки и прямые.

Мощность множества

О существующих переменных

Нулевой или пустой набор, не имеющий собственного значения, считается элементом мощности, так как это подмножество. Сбор всех подмножеств непустого множества S является множеством множеств. Таким образом, набор мощности заданного множества считается многим, мыслимым, но единым. Это множество называется множеством степеней S и обозначается P (S). Если S содержит N элементов, то P (S) содержит 2 ^ n подмножеств, так как подмножество P (S) является либо ∅, либо подмножеством, содержащим r элементов из S, r = 1, 2, 3, . Составленное из всего бесконечного множества M называется степенным количеством и символически обозначается P (M).

Элементы теории множеств

Эта область знаний была разработана Джорджем Кантором (1845-1918 годы жизни). Сегодня она используется почти во всех отраслях математики и служит ее фундаментальной частью. В теории множеств элементы представлены в форме списка и заданы типами (пустой набор, одноэлементный, конечные и бесконечные множества, равные и эквивалентные, универсальные), объединение, пересечение, разность и дополнение чисел. В повседневной жизни часто говорится о коллекции таких объектов, как куча ключей, стая птиц, пачка карточек и т. д. В математике 5 класса и не только, встречаются натуральные, целые, простые и составные числа.

Можно рассмотреть следующие множества:

  • натуральные числа;
  • буквы алфавита;
  • первичные коэффициенты;
  • треугольники с разными значениями сторон.

Видно, что эти указанные примеры представляют собой четко определенные множества объектов. Рассмотрим еще несколько примеров:

  • пять самых известных ученых мира;
  • семь красивых девушек в обществе;
  • три лучших хирурга.

Эти примеры мощности множества не являются четко определенными коллекциями объектов, потому, что критерий «наиболее известных», «самых красивых», «лучших» варьируется от человека к человеку.

Мощность множества примеры

Наборы

Это значение представляет собой четко определенное количество различных объектов. Предположив, что:

  • набор слов является синонимом, агрегатом, классом и содержит элементы;
  • объекты, члены являются равными по значению терминами;
  • наборы обычно обозначаются прописными буквами A, B, C;
  • элементы набора представлены маленькими буквами a, b, c.

Если «a» — элемент множества A, то говорится, что «a» принадлежит A. Обозначим фразу «принадлежит» греческим символом «∈» (epsilon). Таким образом, выходит, что a ∈ A. Если ‘b’ — элемент, который не принадлежит A, это представляется как b ∉ A. Некоторые важные наборы, используемые в математике 5 класса, представляют, используя три следующих метода:

  • заявки;
  • реестров или табличные;
  • правило создания построения.

При детальном рассмотрении форма заявления основана на следующем. В этом случае задано четкое описание элементов множества. Все они заключены в фигурные скобки. Например:

  • множество нечетных чисел, меньших 7 — записывается как <меньше 7>;
  • набор чисел больше 30 и меньше 55;
  • количество учеников класса, вес которых больше, чем учителя.

В форме реестра (табличной) элементы набора перечислены в паре скобок <> и разделены запятыми. Например:

  1. Пусть N обозначает множество первых пяти натуральных чисел. Следовательно, N = → форма реестра
  2. Набор всех гласных английского алфавита. Следовательно, V = → форма реестра
  3. Множество всех нечетных чисел меньше 9. Следовательно, X = <1, 3, 5, 7>→ форма реестра
  4. Набор всех букв в слове «Математика». Следовательно, Z = → Форма реестра
  5. W — это набор последних четырех месяцев года. Следовательно, W = <сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь>→ реестр.

Стоит отметить, что порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, но они не должны повторяться. Установленная форма построения, в заданном случае правило, формула или оператор записываются в пару скобок, чтобы набор был корректно определен. В форме set builder все элементы должны обладать одним свойством, чтобы стать членом рассматриваемого значения.

В этой форме представления набора элемент множества описывается с помощью символа «x» или любой другой переменной, за которой следует двоеточие («:» или «|» используется для обозначения). Например, пусть P — множество счетных чисел, большее 12. P в форме set-builder написано, как — <счетное число и больше 12>. Это будет читаться определенным образом. То есть, «P – множество элементов x, такое, что x является счетным числом и больше 12».

Решенный пример с использованием трех методов представления набора: количество целых чисел, лежащих между -2 и 3. Ниже приведены примеры различных типов наборов:

  1. Пустой или нулевой набор, который не содержит какого-либо элемента и обозначается символом ∅ и считывается как phi. В форме списка ∅ имеет написание <>. Пустым является конечное множество, так как число элементов 0. Например, набор целых значений меньше 0.
  2. Очевидно, что их не должно быть 15 декабря, 2017

Источник

Даны множества найти мощность объединения

3. Мощность множеств (лекция 3)

  • определение мощности конечного и бесконечного множества, кардинальные числа,
  • мощность объединения конечных множеств, метод включения и исключения,
  • мощность объединения бесконечных множеств,
  • мощность континуума, “диагональный метод”

Мощность множества – это число его элементов, которое может быть только целым. Это – единственная количественная характеристика, которой в полной мере оперирует теория множеств. Для обозначения мощности символ множества заключают в прямые скобки или используют отдельный символ, например |A| = n . При небольших величинах мощности она определяется простым подсчетом или по подходящей формуле, но для бесконечных множеств оценка их мощности может быть сделана только путем сравнения с мощностью других, достаточно известных множеств. Иначе говоря, для того, чтобы охарактеризовать мощность бесконечного множества, необходимо отыскать известное равномощное множество.

Счётным множеством называется любое множество, равномощное множеству N натуральных чисел. Счётное множество – это такое множество, элементы которого могут быть занумерованы натуральными числами так, чтобы каждый элемент получил свой особенный номер. Если подобная нумерация невозможна (номеров меньше, чем это необходимо), то множество называется несчетным .

При исследовании бесконечных множеств обнаруживаются неожиданные факты. Оказывается, их мощности могут иметь только дискретные значения, называемые “кардинальными числами”. Одно из кардинальных чисел (алеф-нуль) и есть мощность счетного множества. Другое кардинальное число — (алеф-один) обозначает мощность континуума, т.е. множества точек, заполняющих отрезок действительной числовой оси от нуля до единицы.

Если объединять конечные множества, у которых ни один элемент не совпадает, то мощность объединения определяется суммой их мощностей. При |A1| = n1, |A2| = n2, . получим

При объединении конечных множеств, которые могут пересекаться, результирующая мощность определяется более сложным путем. Для этого приходится использовать специальные прием, который в комбинаторике называется “методом включения и исключения”. Мощность объединения двух множеств определяется по формуле

Мощность пересечения вычитается, чтобы не учитывались дважды элементы, принадлежащие обоим объединяемым множествам. Аналогично, при объединении трех множеств

Последний член возвращает те элементы, которые из-за принадлежности ко всем трем множествам были исключены трижды. Количество включений элементов со знаком “плюс” или “минус” в результирующую сумму поясняет рисунок 3.1.

Рассуждая аналогичным образом, можно вывести общий вид формулы для мощности объединения n множеств

Эта формула в дальнейшем пригодится для решения комбинаторных задач. В одном частном случае, а именно, когда объединяемые множества не пересекаются, все члены в правой части этой формулы, кроме первого, равны нулю и мы возвращаемся к ранее определенной простой формуле мощности объединения конечных множеств.

Объединение бесконечных множеств дает другие результаты. Мощность объединения конечного числа k счетных множеств равна (теорема Т1):

Докажем теорему Т1. Пронумеруем первые элементы всех объединяемых множеств. Поскольку k конечно, это вполне выполнимо. Затем присвоим следующие номера вторым элементам всех множеств и т.д. Теоретически мы таким путем можем пронумеровать все элементы всех множеств. А это означает, что объединение конечного числа счетных множеств счетно. Такой же результат получим для объединения счетного числа конечных множеств (теорема Т2):

Доказательство делается аналогично предыдущему. Нумеруем все элементы первого множества (ведь оно конечно!), затем второго и т.д. Теоретически это достижимо, значит, теорема Т2 доказана.

Несколько более сложным путем доказывается, что объединение счетного числа счетных множеств тоже равно счетному множеству(теорема Т3):

Для доказательства теоремы Т3 рассмотрим декартову степень счетного множества

Из каких пар состоит эта степень? начнем перечислять их в порядке возрастания номеров элементов

В первой паре сумма номеров элементов равна двум, во второй и третьей парах она равна трем, затем идут три пары с суммой номеров, равной четырем, и т.д. В общем виде можно разбить все множество таких пар на классы

Ck = <(ai, aj)| i + j = k + 1>; k I N.

Число пар в каждом классе равно k – конечному, хотя и неограниченно возрастающему числу. Это значит, что мы свели задачу к случаю теоремы Т2, т.е. к объединению бесконечного числа конечных множеств. Пока что мы доказали лишь то, что декартово произведение двух счетных множеств счетно:

Приступим теперь к доказательству Т3. Изобразим множество классов декартова произведения в виде треугольного массива, заменяя каждую пару одной буквой с двойным индексом (номер класса и номер пары в классе):

Источник



Формула мощности объединения двух множеств A и B

Формула мощности объединения трех множеств A, B и С

Примеры решения

Задание 1

Пусть множество А – это область определения функции

Множество В – это область определения функции

Найти и изобразить на числовой прямой множества

Функция не определена при . Следовательно,

Функция определена при . Следовательно,

Задание 2

Среди 160 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 45 абитуриентов, по физике – 39, по русскому языку – 44, по математике или физике – 78, по математике или русскому языку – 72, по физике и русскому языку – 14, по всем трём предметам – 6.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

Решение

Пусть множество А – абитуриенты, получившие «пятерки» на экзамене по математике, множество В – абитуриенты, получившие отличную оценку на вступительном экзамене по физике, множество С – те, кто сдал на «отлично» русский язык.

U – это универсальное множество, то есть все абитуриенты.

Тогда по условию задачи

Пусть D – множество абитуриентов, которые получили хотя бы одну пятёрку.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1

Пусть множество А – это область определения функции

Множество В – это область определения функции

Найти и изобразить на числовой прямой множества

В задание используются следующие обозначения:

– количество букв в Вашем полном имени;

– количество букв в Вашем отчестве;

– количество букв в Вашей фамилии.

Задание 2

1. Среди 150 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

2. Среди 150 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

3. Среди 150 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике и физике – 10, по математике и русскому языку – 14, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

4. Среди 150 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

5. Среди 150 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

6. Среди 155 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 73, по математике или русскому языку – 72, по физике и русскому языку – 13, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

7. Среди 160 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

8. Среди 155 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 47 абитуриентов, по физике – 36, по русскому языку – 42, по математике или физике – 12, по математике или русскому языку – 76, по физике и русскому языку – 14, по всем трём предметам – 5.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

9. Среди 170 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 52 абитуриента, по физике – 38, по русскому языку – 41, по математике или физике – 75, по математике и русскому языку – 14, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 7.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

10. Среди 150 абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в ВУЗ, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66, по всем трём предметам – 4.

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько абитуриентов не получили ни одной пятёрки? Только одну пятерку?

Контрольные вопросы

1. Что такое множество?

2. Какие способ задания множества вы знаете?

3. Что такое мощность множества?

4. Какие операции над множествами вы знаете?

5. Напишите формулу мощности объединения четырех множеств и проиллюстрируйте ее диаграммой вена.

Источник

Читайте также:  Мощность полигона тко что это