Меню

Что такое мощность алфавит система счисления

Позиционные системы счисления

Позиционной называют систему счисления, в которой положение (позиция) цифры определяет вес числа. Основные виды позиционных систем:

  • Двоичная
  • Троичная
  • Четверичная
  • Пятеричная
  • Шестиричная
  • Семиричная
  • Восьмеричная
  • Девятеричная
  • Десятичная
  • Шестнадцетиричная

Немного истории

Первыми в истории человечества позиционную систему счисления применяли индейцы майя примерно 500 лет до нашей эры. Она использовалась для составления календарей и имела в основании число 20.

Современная позиционная система счисления уходит корнями в Индию, в V век нашей эры. И несмотря на то, что в ней используются арабские цифры, именно индусы стали ее основоположниками. А за счет удобных форм записи и выполнения арифметических действий, создание позиционной системы дало мощный толчок развитию математики.

Основание и алфавит

Алфавит позиционной системы счисления состоит из десяти цифр от 0 до 9, а также букв латинского алфавита. При этом размерность (мощность) алфавита, то есть количество используемых знаков, называют основанием . В написании числа его указывают как нижний индекс:

Например, с помощью трех цифр 0, 1 и 2 можно составить троичную систему счисления. Все правила построения чисел будут при этом соответствовать другим позиционным системам: двоичной, десятичной и так далее. А ее основание будет равно трем:

Разряд числа

Разряд — это место, позиция цифры в записи числа. Например, в 125: цифра 5 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 5 — к разряду сотен. Данное число можно также представить в виде суммы 100 + 20 + 5 и выделить основание системы в каждом слагаемом в той или иной степени:

12510 = 1 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 1 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 + 5 ∙ 10 0

Если обратить внимание на показатели степени, то наблюдается закономерность — соответствие порядковому номеру цифры слева направо, начиная с нуля:

Цифра 1 2 5
Порядковый номер слева направо 2 1
Показатель степени основания 2 1

Развернутая форма записи числа

Данный способ записи числа действует и для любой другой позиционной системы счисления и называется развернутой формой:

где A — число, q — основание системы счисления, а n — количество разрядов числа. При этом свернутой формой будет запись вида:

Например, развернутая форма числа 753 в восьмеричной системе счисления будет иметь следующий вид:

7538 = 7 ∙ 8 2 + 5 ∙ 8 1 + 3 ∙ 8 0

Последовательность степеней, задающих разряд числа, называют базисом . А если базис является геометрической прогрессией натуральных чисел, больших 1, а алфавит — целые неотрицательные числа, то такую систему называют традиционной системой счисления .

Представление дробей

Если же необходимо представить в развернутой форме дробь, то формула будет следующей:

где A — число, q — основание системы счисления, n — количество целых разрядов, а m — количество дробных разрядов числа. Свернутой формой, соответственно, является запись вида:

Например, для 1001,101 в двоичной системе счисления развернутая форма будет выглядеть так:

1001.1012 = 1 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 + 1 ∙ 2 -1 + 0 ∙ 2 -2 + 1 ∙ 2 -3

Плюсы и минусы позиционных систем

Главным удобством позиционной системы счисления является то, что запись больших чисел имеет краткую и удобную форму. Это также стало причиной их использования в программировании: большие числа занимают в данной форме меньшее количество памяти ЭВМ.

Источник

Информатика. 10 класс

Конспект урока

Информатика, 10 класс. Урок № 8.

ТемаПредставление чисел в позиционных системах счисления

Урок посвящен теме «Представление чисел в позиционных системах счисления и переводу чисел из одной позиционной системы счисления в другую». В ходе урока школьники научатся различать позиционные и непозиционные системы счисления, узнают о развернутой форме числа. А также научатся переводить числа из одной системы счисления в другую.

Ключевые слова: Системы счисления, позиционная система счисления, непозиционная система счисления, базис системы счисления, схема Горнера, триада, тетрада, «компьютерные» системы счисления, «быстрый» перевод.

Учебник: Босова Л. Л, Босова А. Ю. Информатика 10 класс базовый уровень — БИНОМ Лаборатория знаний 2016 г.

Федерального центра информационных образовательных ресурсов:

Мы постоянно оперируем числами, ежедневно, не слишком задумываясь о том, что они из себя изначально представляют.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально число предметов отображали равным количеством каких-либо значков:

точки, черточки. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), т.к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека

Унарная система — не самый удобный способ записи чисел: при написании больших чисел получается очень длинная запись. С течением времени возникли иные, более удобные и экономичные системы: Вавилонская, Египетская, Славянская, Римская и другие. Рассмотренные записи чисел называются системами счисления.

Читайте также:  Коробка отбора мощности мерседес актрос подключение

Система счисления — это способ записи чисел.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемые цифрами.

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения этой цифры в числе.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система Древнего Рима.

Римская система счисления. В качестве цифр использовались большие латинские буквы. А остальные числа записываются комбинациями этих знаков. Число формировалось из цифр, а также с помощью групп: Группа 1-го вида — несколько одинаковых подряд идущих цифр: XX = 20 (не более трёх одинаковых цифр); Группа 2-го вида — разность значений двух цифр, если слева стоит меньшая: СМ = 1000 – 100 = 900 (может стоять только одна цифра). Величина числа суммируется из значений цифр и групп 1-го или 2-го вида.

Позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа. Основное достоинство любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов. Пример этой системы — привычная нам десятичная система счисления. Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q>1, называемым основанием системы счисления. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр. В q-ичной системе счисления q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых называется развёрнутой формой записи числа в системе счисления с основанием q. Свёрнутой формой представления числа называется его запись в виде:

Свернутой формой записи числа мы пользуемся в повседневной жизни. Развёрнутая форма записи чисел также всем хорошо известна. Ещё в начальной школе дети учат записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых. Если представить разряды в виде степеней основания, то получим:

Иногда бывает полезно преобразовывать развернутую форму записи числа так, чтобы избежать возведения основания в степень. Такую формулу представления числа называют схемой Горнера.

В наши дни большой практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Двоичная система счисления — самая важная для компьютеров. В двоичной системе счисления основание — 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Перевод числа, записанного в системе счисления с основанием q, в десятичную систему счисления основан на использовании развёрнутой формы записи чисел.

Алгоритм перевода в 10-ю систему счисления:

  1. Записать развёрнутую форму числа.
  2. Представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в 10-й системе счисления.
  3. Вычислить значение полученного выражения.

Перевод в десятичную систему счисления целых двоичных чисел будет значительно проще, если вспомнить и использовать уже знакомую вам таблицу степеней двойки.

Рассмотрим пример:

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера.

  1. Возьмем 1, соответствующую самому старшему разряду числа, и умножим её на 2.
  2. Прибавим следующую цифру.
  3. Умножим результат на 2.
  4. Прибавим следующую цифру.
  5. Умножим результат на 2.
  6. Прибавим следующую цифру.
  7. Умножим результат на 2.

Рассмотрим несколько примеров решения задач.

Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определим основание этой системы счисления. Решение: поскольку в записи числа 212q есть цифра 2, то можно сказать, что q>2. Представим число 212q в развёрнутой форме и приравняем к 57.

Решим уравнение: это квадратное уравнение, его корни Х1 = –5,5; Х2 = 5. Так как основание системы счисления должно быть натуральным числом, то q = 5

Перевод целого десятичного числа в систему счисления с оcнованием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

  1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю.
  2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления.
  3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления можно воспользоваться таблицей степеней двойки. Рассмотрим пример: переведем число 529 в двоичную систему счисления.

Читайте также:  Мощность информационного ресурса это

Представим число в виде суммы степеней двойки, для этого:

— возьмем максимально возможное значение, не превышающее исходное число (512 9 + 2 4 + 2 0 = 10000100012

Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием q

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q следует:

  1. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.
  2. Полученные целые части (цифры числа) привести в соответствие алфавиту новой системы счисления.
  3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

При необходимости перевод целого числа А из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q можно свести к хорошо знакомым действиям в десятичной системе счисления: перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное десятичное число представить в требуемой системе счисления.

Быстрый перевод чисел в компьютерных системах счисления

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2 n ) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод. Для этого:

  1. Данное двоичное число надо разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.
  2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
  3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой системы счисления с основанием q = 2 n .

Рассмотрим перевод целых чисел между двоичной и 16-ной системами счисления

Рассмотрим перевод дробной части между двоичной и восьмеричной системами

Чтобы записать правильную двоичную дробь в системе счисления с основанием q = 2 n , достаточно:

двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой; если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой.

Итак, сегодня вы узнали, что существуют разные системы счисления: непозиционные и позиционные. Позиционные системы счисления имеют алфавит и основание и его можно представить в развернутом виде. Научились переводить из 10 с.с в любую другую систему счисления. Научились переводить из 2, 8, 16 сс в 10 с.с. Узнали, как быстро можно переводить числа между системами.

Источник



Что такое мощность алфавита

Алфавитом в информатике называется система знаков, с помощью которой можно подать информационное сообщение. Чтобы понять сущность этого определения, приведем немного дополнительных теоретических фактов:

  1. Любые сообщения состоят из алфавита. Например, данная статья — сообщение. Тогда она состоит из символов русского алфавита.
  2. Под символом мы можем понимать минимально значимую частицу алфавита. Также неделимые частицы называют атомами. Символами в русском алфавите являются «а», затем «б», «в», и так далее.
  3. В теории, алфавиту необязательно быть закодированным как-либо. Например, в печатной книге символы алфавита означают сами себя, значит, не имеют какой-либо кодировки.

Но на практике мы имеем следующее: компьютер не понимает, что такое буквы. Поэтому для передачи информационного сообщения его сначала нужно закодировать понятным компьютеру языком. Для того чтобы двигаться дальше, необходимо ввести дополнительные термины.

Что такое мощность алфавита

Под мощностью алфавита мы подразумеваем общее количество символов в нем. Для того чтобы узнать, какова мощность алфавита, необходимо просто посчитать количество символов в нем. Давайте разбираться. Для русского алфавита мощность алфавита равна 33 или же 32 символам, если не использовать «ё».

Давайте предположим, что все символы в нашем алфавите встречаются с равной вероятностью. Это предположение можно понимать так: допустим, у нас есть мешок с подписанными кубиками. Число кубиков в нем бесконечно, и каждый подписан лишь одним символом. Тогда при равномерном распределении, сколько бы мы кубиков ни доставали из мешка, количество кубиков с разными символами будет одинаково, или будет стремиться к этому при росте числа кубиков, которые мы достаем из мешка.

Оценка веса информационных сообщений

Почти сто лет назад американский инженер Ральф Хартли вывел формулу, с помощью которой можно оценивать количество информации в сообщении. Его формула работает для равновероятных событий и выглядит так:

Где «i» — количество неделимых информационных атомов (битов) в сообщении, «M» — мощность алфавита. Следуем далее. С помощью математических преобразований можем определить, что мощность алфавита можно вычислять так:

Эта формула в общем виде задает связь между количеством равновероятных событий «M» и количеством информации «i».

Рассчитываем мощность

Скорее всего, вам уже известно из школьного курса информатики, что в современных вычислительных системах, построенных на архитектуре фон Неймана, используется двоичная система кодировки информации. Так кодируются как программы, так и данные.

Для того чтобы представить текст в вычислительной системе, используют равномерный код из восьми разрядов. Равномерным код считается потому, что содержит фиксированный набор элементов — 0 и 1. Значения в таком коде задаются определенным порядком этих элементов. С помощью восьмиразрядного кода мы можем закодировать сообщения весом 256 бит, ведь по формуле Хартли: M 8=2 8 = 256 бит информации.

Такая ситуация с кодировкой символов двоичным кодом сложилась исторически. Но теоретически мы могли бы использовать и другие алфавиты для представления данных. Так, к примеру, в четырехзнаковом алфавите у каждого символа был бы вес не один, а два бита, в восьмизнаковом — 3 бита и так далее. Это рассчитывается с помощью двоичного логарифма, который был приведен выше ( i = log 2M).

Так как в алфавите мощностью 256 бит для обозначения одного символа отводится восемь двоичных разрядов, было решено ввести дополнительную меру информации — байт. Один байт содержит один символ кодовой таблицы ASCII и содержит в себе восемь бит.

Как измеряют информацию

Восьмибитная кодировка текстовых сообщений, которая используется в кодовой таблице ASCII, позволяет вместить базовый набор символов латиницы и кириллицы в прописном и строчном варианте, цифры, символы знаков препинания и другие базовые символы.

Для того чтобы измерять более крупные объемы данных, используют специальные приставки к словам байт и бит. Такие приставки приведены в таблице ниже:

Многие люди, изучавшие физику возразят, что рационально было бы использовать классические приставки для обозначения единиц информации (вроде кило- и мега-), но на самом деле это не совсем корректно, ведь такие префиксы к величинам обозначают умножение на ту или иную степень числа десять, когда в информатике везде используется двоичная система измерений.

Правильные названия единиц измерения данных

Для того чтобы устранить некорректности и неудобства, в марте 1999 года Международной комиссией в области электротехники были утверждены новые приставки к единицам, которые используются для определения объема информации в электронной вычислительной технике. Такими приставками стали «меби», «киби», «гиби», «теби», «эксби», «пети». Пока эти единицы еще не прижились, так что, скорее всего, необходимо время для введения этого стандарта и начала широкого применения. Как осуществлять переход от классических единиц к новоутвержденным, вы можете определить по следующей таблице:

Предположим, что мы имеем текст, который содержит K символов. Тогда, используя алфавитный подход, можно вычислить объем информации V, который в нем содержится. Он будет равен произведению мощности алфавита на информационный вес одного символа в нем.

По формуле Хартли мы знаем, как вычислить объем информации через двоичный логарифм. Предположив, что количество знаков алфавита равно N и количество знаков в записи информационного сообщения равняется K, получим такую формулу для вычисления информационного объема сообщения:

Алфавитный подход свидетельствует о том, что информационный объем будет зависеть только лишь от мощности алфавита и размера сообщений (то есть количества символов в нем), но никак не будет связан со смысловым содержанием для человека.

Примеры расчета мощности

На уроках информатики часто дают задачи на нахождение мощности алфавита, длины сообщения или информационного объема. Вот одна из таких задач:

«Текстовый файл занимает 11 Кбайт дискового пространства и содержит 11264 символа. Определите мощность алфавита данного текстового файла».

Каким будет решение, можно увидеть на картинке ниже.

Таким образом, алфавит мощностью 256 символов несет в себе всего лишь 8 бит информации, что в информатике называют одним байтом. Байт описывает 1 символ таблицы ASCII, что, если задуматься, совсем не много.

Один байт — это много или мало?

Современные хранилища данных вроде дата-центров Google и Facebook содержат не меньше, чем десятки петабайт информации. Точное количество данных, впрочем, трудно будет подсчитать даже им самим, ведь тогда нужно будет остановить все процессы на серверах и закрыть пользователям доступ к записи и редактированию их личной информации.

Но чтобы вообразить такие немыслимые объемы данных, необходимо четко понимать, что все складывается из маленьких деталей. Необходимо понимать, чему равна мощность алфавита (256) и сколько бит содержит 1 байт информации (как вы помните, 8).

Источник